Rotasi Segitiga: Mencari Alas dan Tinggi

Membongkar Gambar Segitiga

Menggambar segitiga siku-siku lalu memutarnya dapat memudahkan kita melihat letak garis tinggi.

Membayangkan posisi garis dalam geometri bidang sering kali membingungkan jika orientasinya miring di atas kertas. Untuk memudahkan visualisasi, kita bisa mulai dengan menggambar $\triangle ABC$ dalam posisi standar: sudut siku-siku berada di titik $A$ pada pojok kiri bawah, sisi penyiku $AB = 15\text{ cm}$ mendatar ke kanan, dan sisi penyiku $AC = 20\text{ cm}$ berdiri tegak lurus ke atas.

Bayangkan segitiga ini adalah selembar potongan karton. Sekarang, putar karton tersebut hingga sisi terpanjangnya—yakni hipotenusa $BC$—berada tepat di bawah dan sejajar mendatar dengan meja. Pada posisi ini, titik sudut siku-siku $A$ berada di puncak atas. Jika kita menarik benang lurus yang diberi pemberat dari titik $A$ lurus ke bawah menyentuh sisi $BC$, benang tersebut akan membentuk sudut $90^\circ$ atau tegak lurus terhadap sisi $BC$. Titik temu di dasar sisi $BC$ ini dinamakan titik $D$. Ruas garis $AD$ inilah yang disebut sebagai garis tinggi terhadap hipotenusa.

Menemukan Alas dan Tinggi

Alas dan tinggi segitiga hanyalah dua garis lurus yang saling membentuk sudut siku-siku.

Diagram pemisahan dan orientasi segitiga siku-siku ACD

Di segitiga yang letaknya miring, kita tidak perlu terpaku mencari garis yang sejajar dengan tepian lantai atau bingkai kertas. Kunci utama dalam menentukan luas segitiga adalah mencari tanda siku-siku ($90^\circ$). Dua garis mana pun yang saling tegak lurus pada sudut tersebut secara otomatis berperan sebagai pasangan alas dan tinggi.

Pada $\triangle ACD$ yang posisinya miring di dalam gambar utama, ruas garis $AD$ merupakan garis tinggi yang jatuh tegak lurus pada garis $BC$. Karena titik $D$ terletak pada garis $BC$, maka ruas garis $AD$ juga otomatis tegak lurus terhadap ruas garis $CD$. Dengan demikian, sudut di titik $D$ adalah sudut siku-siku. Luas segitiga $ACD$ dapat langsung dihitung dengan memperlakukan $CD$ sebagai alas dan $AD$ sebagai tinggi (atau sebaliknya).

Sebuah segitiga PQR siku-siku di Q digambar miring sehingga tidak ada sisinya yang sejajar dengan bingkai kertas. Jika kamu diminta menghitung luas segitiga PQR, dua panjang sisi mana yang harus kamu kalikan dan bagi dua?

  • Sisi PQ dan sisi QR
  • Sisi PR dan sisi PQ
  • Sisi PR dan sisi QR
  • Garis pembatas kertas vertikal dan horizontal

Jawaban: Sisi PQ dan sisi QR

Segitiga siku-siku memiliki alas dan tinggi yang saling tegak lurus pada sudut siku-sikunya. Karena segitiga PQR siku-siku di Q, sisi PQ dan sisi QR saling tegak lurus membentuk sudut 90 derajat, sehingga keduanya merupakan pasangan alas dan tinggi. Sisi PR adalah hipotenusa, bukan alas maupun tinggi dari sudut siku-siku tersebut.

Alas dan tinggi segitiga selalu merupakan dua sisi yang saling tegak lurus.

Mencari Ukuran yang Hilang

Ukuran sisi-sisi kecil dalam segitiga siku-siku bisa dicari dengan rumus kesebangunan atau Teorema Pythagoras bertahap.

Skema proyeksi bayangan lampu pada segitiga siku-siku ABC

Untuk menghitung luas $\triangle ACD$, kita memerlukan panjang alas $CD$ dan tinggi $AD$. Kita dapat mengawalinya dari segitiga utuh $ABC$ yang ukurannya paling lengkap, dengan $AB = 15\text{ cm}$ dan $AC = 20\text{ cm}$. Menggunakan Teorema Pythagoras pada $\triangle ABC$:

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\text{ cm}$$

Panjang $BC = 25\text{ cm}$ ini selaras dengan perbandingan tripel Pythagoras dasar $3 : 4 : 5$ yang dikalikan dengan $5$.

Untuk menemukan panjang potongan $CD$, bayangkan ada sumber cahaya atau lampu yang menyinari sisi $AC$ dari atas secara tegak lurus ke arah lantai hipotenusa $BC$. Bayangan dari sisi $AC$ yang jatuh di atas lantai $BC$ dinamakan proyeksi ortogonal, yaitu segmen $CD$. Sifat kesebangunan pada segitiga siku-siku menyatakan bahwa kuadrat sisi tegak sama dengan panjang bayangannya dikalikan dengan panjang sisi miring utuh:

$$AC^2 = CD \times BC$$

$$20^2 = CD \times 25$$

$$400 = 25 \times CD \implies CD = \frac{400}{25} = 16\text{ cm}$$

Sekarang kita perhatikan $\triangle ACD$. Karena $\triangle ACD$ adalah segitiga siku-siku di $D$ dengan sisi $AC$ sebagai hipotenusa, kita bisa mencari tinggi $AD$ menggunakan Teorema Pythagoras:

$$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$$