Faktorial Raksasa & Rahasia Modulo 10

Digit Terakhir dan Modulo 10

Digit terakhir dari bilangan berapapun di basis desimal selalu sama dengan sisa pembagian bilangan tersebut oleh 10.

Dalam teori bilangan, mencari digit terakhir satuan dari suatu bilangan bulat $x$ ekuivalen secara formal dengan mencari residu terkecil non-negatif dari operasi modulo 10:

$$x \equiv d \pmod{10}, \quad \text{dengan } d \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$$

Operasi modulo memiliki sifat kompatibilitas terhadap penjumlahan (sifat aditif), yaitu sisa dari penjumlahan dua bilangan sama dengan sisa dari penjumlahan masing-masing sisanya:

$$(a + b) \pmod{10} = \big((a \pmod{10}) + (b \pmod{10})\big) \pmod{10}$$

Sebagai ilustrasi, perhatikan penjumlahan bilangan $120 + 33$. Karena $120 \equiv 0 \pmod{10}$, maka:

$$(120 + 33) \pmod{10} \equiv (0 + 3) \pmod{10} \equiv 3 \pmod{10}$$

Mencari digit terakhir penjumlahan mirip dengan jarum satuan pada aritmetika modular; angka-angka yang memiliki faktor pembentuk putaran penuh (faktor 10) tidak akan mengubah posisi jarum satuan sama sekali, sehingga mereka bisa diabaikan dari perhitungan.

Faktor 2 dan 5 dalam Faktorial

Untuk setiap $n \ge 5$, nilai $n!$ selalu memuat perkalian $2 \times 5 = 10$, sehingga pasti kongruen dengan $0 \pmod{10}$.

Berdasarkan definisi, faktorial adalah hasil kali terurut dari seluruh bilangan bulat positif:

$$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1$$

Ketika kita mengevaluasi $5!$, penjabarannya memuat faktor prima 5 dan faktor prima 2 secara eksplisit:

$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = (5 \times 2) \times (4 \times 3 \times 1) = 10 \times 12 = 120$$

Secara umum, untuk setiap bilangan bulat $n \ge 5$, himpunan faktor pengali $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ selalu memuat paling sedikit satu faktor 5 dan paling sedikit satu faktor 2. Karena $2 \times 5 = 10$, maka $n!$ untuk $n \ge 5$ dapat dituliskan dalam bentuk aljabar:

$$n! = 10 \times k \quad (k \in \mathbb{N})$$

Persamaan di atas membuktikan bahwa $n! \equiv 0 \pmod{10}$ untuk semua $n \ge 5$.

Membelah Deret Faktorial

Dalam operasi modulo 10, seluruh deret faktorial $n!$ untuk $n \ge 5$ bernilai 0, sehingga deret raksasa dapat direduksi menjadi suku-suku kecilnya saja.

Deret penjumlahan pada soal dapat kita representasikan secara formal menggunakan notasi sigma:

$$\sum_{k=1}^{2023} k! \pmod{10}$$

Berdasarkan sifat linearitas penjumlahan modulo, kita dapat membelah batas penjumlahan deret tersebut menjadi dua interval di titik transisi $k = 4$ dan $k = 5$:

$$\sum_{k=1}^{2023} k! \equiv \left( \sum_{k=1}^{4} k! + \sum_{k=5}^{2023} k! \right) \pmod{10}$$

Mari kita tinjau bagian kedua, yaitu $\sum_{k=5}^{2023} k!$:

$$\sum_{k=5}^{2023} k! = 5! + 6! + 7! + \dots + 2023!$$

Karena setiap suku $k!$ dengan $k \ge 5$ memuat faktor $10$, maka berlaku $k! \equiv 0 \pmod{10}$. Akibatnya:

$$\sum_{k=5}^{2023} k! \equiv (0 + 0 + 0 + \dots + 0) \equiv 0 \pmod{10}$$

Seluruh deret dari suku ke-5 hingga suku ke-2023 tereliminasi secara sempurna dan tidak memberikan kontribusi apa pun pada digit terakhir.