Taktik Rasio: Menyiasati Kurang Variabel

Konsep Porsi Tanpa Nilai Pasti

Menentukan sebuah Rasio tidak membutuhkan nilai eksak dari setiap variabel, cukup relasi porsinya terhadap total.

Bayangkan kita sedang meracik resep campuran adonan kue dengan tiga bahan: bahan $a$, bahan $b$, dan bahan $c$. Saat resep menyebutkan takaran satu bahan dibanding bahan lainnya, kita tidak perlu tahu apakah adonan yang dibuat berbobot $1\text{ kg}$ atau $10\text{ kg}$. Menggandakan resep adonan menjadi dua kali lipat memang melipatgandakan gramatur masing-masing bahan, namun porsi perbandingan antarbahannya tetap tidak berubah.

Gelas ukur kaca dengan lapisan tiga cairan berbeda warna yang menunjukkan porsi volume bertingkat tanpa teks atau angka

Dalam perbandingan campuran, perbandingan suatu bagian terhadap sisa campuran sebenarnya menyimpan informasi mengenai porsi bahan tersebut terhadap seluruh wadah. Sebagai ilustrasi, jika dalam segelas minuman perbandingan sirup terhadap air adalah $1 : 4$, kita tahu sirup menyusun $\frac{1}{5}$ bagian dari total volume minuman, meskipun kita belum mengetahui berapa mililiter volume aslinya.

Itulah mengapa sebuah Sistem Persamaan yang memiliki 3 variabel dan 2 perbandingan sudah cukup untuk mencari rasio pecahan baru. Kita tidak dituntut mencari nilai timbangan eksak tiap variabel, melainkan cukup memetakan porsi relatifnya.

Mencari Acuan Bersama

Untuk membandingkan beberapa pecahan rasio, semua perbandingan harus diukur terhadap satu Acuan Bersama yang sama.

Pada soal, kita diberikan dua perbandingan terpisah:

$$\frac{a}{b+c} = \frac{1}{2} \quad \text{dan} \quad \frac{b}{a+c} = \frac{1}{3}$$

Jika kita membiarkan variabel $a$ dibandingkan dengan $(b+c)$, lalu variabel $b$ dibandingkan dengan $(a+c)$, kita kesulitan membandingkan $a$ dan $b$ secara langsung karena pembandingnya berbeda. Kuncinya adalah mengubah sudut pandang menjadi perbandingan terhadap total seluruh adonan, yaitu $(a+b+c)$.

Mari kita ubah bentuk persamaan pertama secara aljabar:

$$\frac{a}{b+c} = \frac{1}{2} \implies b+c = 2a$$

Jika kedua ruas kita tambahkan dengan $a$:

$$a+b+c = 3a \implies a = \frac{1}{3}(a+b+c)$$

Artinya, bahan $a$ menyumbang tepat $\frac{1}{3}$ dari total seluruh adonan. Sekarang lakukan manipulasi serupa pada persamaan kedua:

$$\frac{b}{a+c} = \frac{1}{3} \implies a+c = 3b$$

Tambahkan $b$ pada kedua ruas:

$$a+b+c = 4b \implies b = \frac{1}{4}(a+b+c)$$

Kini variabel $a$ dan $b$ sudah berpijak pada Acuan Bersama yang identik, yaitu total campuran adonan $(a+b+c)$.

Dalam sebuah kelas, rasio jumlah siswa laki-laki ($L$) terhadap siswa perempuan ($P$) adalah $\frac{2}{3}$. Berapakah bagian siswa laki-laki ($L$) dari total seluruh siswa di kelas ($L + P$)?

  • 2/3
  • 2/5
  • 3/5
  • 1/3

Jawaban: 2/5

Rasio L : P = 2 : 3 berarti laki-laki mewakili 2 bagian dan perempuan 3 bagian. Total seluruh siswa adalah 2 + 3 = 5 bagian. Dengan demikian, porsi siswa laki-laki dari total siswa (L + P) adalah 2/5. Opsi A keliru karena masih membandingkan laki-laki dengan perempuan (bukan total). Opsi C keliru karena menghitung porsi perempuan terhadap total. Opsi D keliru akibat salah menghitung selisih bagian.

Mengonversi perbandingan sebuah bagian terhadap sisanya menjadi perbandingan terhadap total.

Menemukan Porsi Sisa

Nilai variabel ketiga dapat diperoleh dengan mengurangkan porsi variabel-variabel lainnya dari acuan total.

Dari halaman sebelumnya, kita telah menemukan porsi dari dua bahan pertama terhadap total adonan:

Agar perhitungannya mudah dan tidak terbebani pecahan yang berbeda penyebut, kita dapat menyamakan penyebutnya menggunakan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari $3$ dan $4$, yaitu $12$.

Bayangkan total adonan utuh bernilai $12$ unit:

Karena adonan hanya terdiri dari tiga bahan ($a, b,$ dan $c$), maka bahan $c$ adalah sisa dari keseluruhan isi adonan:

$$\text{Porsi } c = \frac{12}{12} - \left(\frac{4}{12} + \frac{3}{12}\right) = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}\text{ dari total adonan}$$