Membaca Daerah Penyelesaian Pertidaksamaan
Batas Paling Simpel: Kanan, Kiri, Atas, Bawah
Pernah melihat sebuah pulau yang dibatasi oleh pagar? Dalam matematika, daerah yang diarsir (daerah penyelesaian) adalah "pulau" tersebut, dan garis-garis pembatasnya adalah "pagarnya".
Batas yang paling gampang dibaca adalah pagar lurus: vertikal (tegak) dan horizontal (mendatar).
Coba perhatikan grafik batas di atas.
Garis Tegak ($x = 1$): Daerah yang diarsir berada di sebelah KANAN garis ini. Karena angka di sebelah kanan makin besar, artinya semua nilai $x$ di area itu pasti lebih besar atau sama dengan 1. Jadi, syarat pertamanya adalah $x \geq 1$.
Garis Mendatar (Sumbu-$x$, atau $y = 0$): Daerah arsir berada di BAWAH sumbu-$x$. Di koordinat kartesius, posisi bawah berarti angkanya negatif atau nol. Maka, syarat keduanya adalah $y \leq 0$.
Coba tebak arah arsirannya berdasarkan tanda pertidaksamaan ini!
- Garis y >= 2 berarti daerah arsirnya ada di atas garis y=2. — Benar
- Garis x <= -1 berarti daerah arsirnya ada di sebelah kanan garis x=-1. — Salah
Lebih besar (>=) berarti ke atas atau kanan. Lebih kecil (<=) berarti ke bawah atau kiri.
Arah arsir garis vertikal dan horizontal ditentukan oleh nilai yang lebih besar (kanan/atas) atau lebih kecil (kiri/bawah).
Membaca Garis Miring
Sekarang kita urusi "pagar" yang miring. Di soal, ada sebuah garis miring yang memotong sumbu-$x$ dan sumbu-$y$. Kalau pakai rumus gradien yang panjang, pasti bikin pusing. Untungnya, ada jalan pintas!
Jika sebuah garis memotong sumbu-$x$ di angka $a$ dan sumbu-$y$ di angka $b$, kita bisa langsung membuat persamaannya dengan trik tukar pengali: $bx + ay = a \times b$
Mari kita terapkan pada garis di soal:
Garis memotong sumbu-$x$ di angka $8$, jadi $a = 8$.
Garis memotong sumbu-$y$ di angka $-3$, jadi $b = -3$.
Masukkan ke pola ajaib kita: $(-3)x + (8)y = (8)(-3)$ $-3x + 8y = -24$
Biarkan bentuknya seperti ini, atau kalau mau disamakan dengan opsi jawaban, kalikan seluruh ruas dengan $-1$ (ingat, ini baru persamaannya, belum ada tanda pertidaksamaan): $3x - 8y = 24$
Sebuah garis memotong sumbu-x di angka 2 dan sumbu-y di angka 5. Manakah persamaan garis yang benar berdasarkan trik jalan pintas?
- A. 5x + 2y = 10
- B. 2x + 5y = 10
- C. 5x - 2y = 10
- D. 2x - 5y = 10
Jawaban: A. 5x + 2y = 10
Ingat polanya: bx + ay = a*b. Titik x (a=2) dipasangkan dengan y, dan titik y (b=5) dipasangkan dengan x. Jadi: 5x + 2y = (2)(5) = 10.
Persamaan garis yang memotong kedua sumbu dapat dibentuk dengan menukar pengali: titik potong-y dikali x, ditambah titik potong-x dikali y, hasilnya adalah perkalian keduanya.
Rahasia 'Uji Titik'
Kita sudah punya persamaan garis pembatasnya: $3x - 8y = 24$. Persamaan yang pakai tanda sama dengan ($=$) itu cuma ibarat kawat pagarnya. Tapi, daerah arsirnya ada di sebelah mana pagar? Apakah harus pakai $\leq$ atau $\geq$?
Daripada repot menghafal "kalau $x$ negatif terus diarsir ke kiri jadinya apa...", mending kita pakai cara anti-salah: Uji Titik.
Caranya simpel: pilih satu titik yang JELAS berada di dalam daerah arsir, lalu masukkan ke persamaan. Titik paling favorit sejuta umat adalah $(0,0)$. Coba lihat grafiknya, apakah titik $(0,0)$ ada di dalam area arsiran? Ya, jelas di dalam!
Masukkan $x=0$ dan $y=0$ ke ruas kiri: $3(0) - 8(0) = 0$.
Bandingkan hasilnya ($0$) dengan ruas kanan ($24$).
Karena $0$ lebih kecil dari $24$, maka tanda yang benar agar pernyataannya sesuai fakta adalah $\leq$.
Jadi, pertidaksamaan garis miringnya adalah $3x - 8y \leq 24$.
Kamu sedang menguji titik (0,0) untuk sebuah daerah arsir yang dibatasi garis x + 2y = 10. Jika (0,0) TERMASUK dalam daerah arsir tersebut, tanda pertidaksamaan apa yang harus kamu pilih?
- A. >
- B. <
- C. >=
- D. <=
Jawaban: D. <=
Masukkan (0,0) ke ruas kiri: 0 + 2(0) = 0. Karena (0,0) masuk daerah arsir, pernyataan 0 [tanda] 10 harus BENAR. Agar benar, 0 harus lebih kecil atau sama dengan 10 (<=).
Uji titik mensyaratkan kita memilih tanda yang membuat pernyataan matematis menjadi BENAR jika titik tersebut berada di dalam daerah arsir.