Peluang: Kombinasi dan Jalan Pintas Komplemen

Kapan Pakai Kombinasi vs Permutasi?

Kombinasi digunakan ketika urutan pemilihan tidak mengubah hasil akhir, sedangkan permutasi dipakai saat urutan menentukan perbedaan.

Dalam banyak soal peluang, langkah pertama adalah menentukan total kemungkinan cara memilih. Pertanyaan penuntun yang paling penting: apakah urutan pemilihan itu berpengaruh?

Bayangkan membuat jus: memasukkan apel lalu mangga menghasilkan jus yang sama persis dengan memasukkan mangga lalu apel. Karena urutan bahan tidak mengubah hasil jusnya, proses ini disebut Kombinasi.

Sebaliknya, bayangkan kata sandi HP: memasukkan angka $1$ lalu $2$ jelas berbeda dengan memasukkan $2$ lalu $1$. Urutan angka sangat menentukan apakah layar kunci terbuka atau tertutup. Inilah yang disebut Permutasi.

Pada soal meletakkan dua kelereng identik di kotak, menaruh kelereng di kotak A lalu B menghasilkan kondisi akhir yang sama persis dengan menaruh di kotak B lalu A. Kedua kelereng sama-sama menempati pasangan kotak yang sama. Karena urutannya tidak relevan, kita wajib menggunakan Kombinasi. Pola kombinasi ini juga muncul pada situasi seperti memilih $2$ orang perwakilan lomba dari $5$ anggota (Kombinasi) vs memilih ketua dan wakil ketua (Permutasi).

Menghitung Total Ruang Sampel

Banyaknya cara menyusun $r$ objek dari $n$ pilihan tanpa memperhatikan urutan dihitung dengan rumus kombinasi $C(n, r)$.

Ruang Sampel adalah total semua kemungkinan hasil yang bisa terjadi dari suatu kejadian, dan posisinya berada di penyebut dalam pecahan peluang. Menghitung ruang sampel dengan benar adalah kunci agar nilai peluang tidak meleset.

Rumus kombinasi dinyatakan sebagai:

$$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!}$$

Untuk kasus meletakkan $2$ kelereng ke dalam $6$ kotak yang tersedia, kita perlu mencari banyaknya cara memilih $2$ kotak dari total $6$ kotak tanpa urutan:

$$n(S) = C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6 - 2)!} = \frac{6!}{2! \times 4!}$$

Langkah pembatalan faktorial membuat perhitungannya jauh lebih sederhana:

1. Uraikan pembilang sampai bertemu faktorial terbesar di penyebut: $6! = 6 \times 5 \times 4!$.

2. Coret suku $4!$ pada pembilang dan penyebut.

3. Tersisa perkalian sederhana: $\frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$.

Jalan Pintas Komplemen Peluang

Peluang suatu kejadian TIDAK terjadi lebih mudah dihitung dengan $1$ dikurangi peluang kejadian itu TERJADI.

Soal meminta kita mencari peluang kedua kelereng tidak berseberangan. Kalau kita menghitung pasangan posisi yang tidak berseberangan satu per satu, prosesnya cukup panjang dan rawan terlewat.

Alih-alih menghitung yang rumit, kita gunakan prinsip Peluang Komplemen: cari dulu kejadian kebalikannya, yaitu peluang kelereng diletakkan saling berseberangan.

Perhatikan susunan $6$ kotak yang melingkar:

• Pasangan berseberangan adalah pasangan kotak yang posisinya saling berhadapan lurus melewati pusat lingkaran.

• Pada susunan segi enam, hanya ada tepat $3$ pasang kotak yang saling berhadapan.

• Jadi, banyaknya kejadian kelereng berseberangan adalah $n(K) = 3$.

Dengan ruang sampel $n(S) = 15$, peluang kedua kelereng berseberangan adalah:

$$P(K) = \frac{n(K)}{n(S)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$$

Karena total seluruh peluang dalam ruang sampel adalah $1$, maka peluang kejadian komplemennya (tidak berseberangan) adalah:

$$P(K') = 1 - P(K) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$