Membaca Grafik dan Sifat Parabola

Merakit Persamaan dari Titik

Persamaan grafik parabola bisa dirakit dengan mengenali titik potong sumbu $x$ dan satu titik tambahan. Jangan langsung menebak rumus dari pilihan ganda. Bayangkan kita sedang merakit mainan LEGO: sebelum memasang hiasan lainnya, kita kumpulkan dulu balok dasarnya. Pada grafik fungsi kuadrat, balok dasar yang paling mudah dibaca adalah titik ketika kurva memotong sumbu $x$ (akar-akar grafik).

Titik potong pada sumbu $x$ memiliki nilai $y = 0$. Pada grafik, kurva menembus sumbu $x$ di titik $(-2, 0)$ dan $(3, 0)$. Bentuk perkalian akarnya dapat kita susun sebagai:

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$

$$f(x) = a(x - (-2))(x - 3) = a(x + 2)(x - 3)$$

Sekarang kita cari nilai pengali $a$ dengan memasukkan $x = 0$ dan $f(0) = -6$:

$$-6 = a(0 + 2)(0 - 3)$$

$$-6 = a(2)(-3)$$

$$-6 = -6a \implies a = 1$$

Karena $a = 1$, kita kalikan kedua faktor aljabar tersebut:

$$f(x) = 1 \cdot (x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$$

Mainan LEGO dasar kita sudah utuh: persamaan kurvanya adalah $f(x) = x^2 - x - 6$.

Memahami Geseran dan Notasi

Notasi $f(x - p)$ atau $f(x) + k$ hanyalah instruksi untuk mengganti nilai variabel $x$ atau mengubah hasil akhir $f(x)$. Begitu mainan LEGO parabola kita sudah jadi utuh ($f(x) = x^2 - x - 6$), kita bisa memindahkan posisinya ke mana saja.

Aturan pergeseran (transformasi) sangat mekanis:

• Geser horizontal (kanan/kiri): Masuk langsung ke dalam kurung fungsi. Geser ke kanan sejauh $p$ berarti ganti setiap huruf $x$ menjadi $(x - p)$.

• Geser vertikal (atas/bawah): Menempel di luar fungsi. Geser ke atas sejauh $k$ berarti tambahkan $+ k$ di ujung rumus.

Mari kita uji Pernyataan I: fungsi $f$ digeser 2 satuan ke kanan dan 2 satuan ke atas.

1. Ganti semua $x$ dengan $(x - 2)$:

   $$f(x - 2) = (x - 2)^2 - (x - 2) - 6 = (x^2 - 4x + 4) - x + 2 - 6 = x^2 - 5x$$

2. Tambahkan $2$ di luar:

   $$g(x) = f(x - 2) + 2 = x^2 - 5x + 2$$

Hasil ini tepat sama dengan rumus di soal, sehingga Pernyataan I Benar.

Sekarang kita uji Pernyataan II: apakah titik $(3, 7)$ dilalui oleh grafik $f(x + 1)$? Artinya, kita memasukkan $x = 3$ ke dalam fungsi baru tersebut:

$$f(3 + 1) = f(4)$$

Tinggal masukkan angka $4$ ke rumus awal $f(x) = x^2 - x - 6$:

$$f(4) = 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6$$

Karena nilai keluarannya adalah $6$ (bukan $7$), maka grafik melalui $(3, 6)$, bukan $(3, 7)$. Jadi, Pernyataan II Salah.

Diskriminan: Pengukur Akar

Diskriminan suatu fungsi mengukur seberapa jauh puncaknya tenggelam atau terangkat dari sumbu $x$. Rumusnya adalah $D = b^2 - 4ac$. Angka ini bertindak seperti sensor:

• $D > 0$: Kurva menyeberang sumbu $x$, memotong di dua titik berbeda.

• $D = 0$: Titik puncak kurva menempel pas di sumbu $x$, hanya menyinggung di satu titik.

• $D < 0$: Kurva melayang atau tenggelam penuh, tidak memotong sumbu $x$ sama sekali.

Pada fungsi yang sudah kita rakit, $f(x) = x^2 - x - 6$, kita identifikasi nilai koefisiennya:

• $a = 1$

• $b = -1$

• $c = -6$

Mari kita hitung nilai diskriminannya selangkah demi selangkah:

$$D = b^2 - 4ac$$

$$D = (-1)^2 - 4(1)(-6)$$

$$D = 1 - (-24) = 1 + 24 = 25$$

Hasil perhitungan ini memastikan bahwa Pernyataan III Benar.