Trik Membandingkan Deret Panjang
Ilusi Visual Deret
Rentang angka yang terlihat seimbang dan saling mengisi tidak menjamin total jumlahnya sama.
Perhatikan kedua deret pada soal:
$$m = 1 + 3 + 5 + \dots + 15$$
$$n = 2 + 4 + 6 + \dots + 14$$
Sekilas, susunan bilangan ganjil dari $1$ sampai $15$ dan bilangan genap dari $2$ sampai $14$ tampak sangat rapi dan saling menggenapi celah satu sama lain. Tampilan yang seolah simetris ini kerap menggoda kita memilih Opsi C ($m = n$), seakan kedua deret memiliki kekuatan total yang persis seimbang.
Melihat kedua deret ini mirip seperti menyaksikan dua kelompok atlet yang sedang bersiap dalam arena tarik tambang. Dari kejauhan, formasi barisan kedua tim tampak berimbang di sepanjang tali. Namun, jika kita ingin mengetahui tim mana yang memiliki tarikan lebih kuat, menghitung total berat seluruh anggota satu demi satu tentu membuang waktu dan menguras tenaga.
Cara yang jauh lebih cerdas adalah menyejajarkan kedua tim dan mengadu kekuatannya secara berhadapan satu per satu. Dengan mengamati selisih tenaga dari tiap duel berpasangan serta melihat siapa anggota tim yang tidak mendapat lawan tanding, kita dapat menentukan pihak mana yang lebih unggul secara langsung.
Membedah Selisih Aljabar
Membandingkan deret dapat dilakukan dengan menyusun operasi pengurangan dan memasangkan suku-suku yang sejajar.
Untuk mengetahui deret mana yang lebih besar secara formal, kita tidak perlu menghitung jumlah total masing-masing deret terlebih dahulu. Cukup susun selisih kedua deret melalui operasi aljabar $m - n$:
$$m - n = (1 + 3 + 5 + \dots + 13 + 15) - (2 + 4 + 6 + \dots + 14)$$
Perhatikan banyak suku dari tiap deret. Deret bilangan ganjil $m$ memiliki $8$ suku (karena $15 = 2(8) - 1$), sedangkan deret bilangan genap $n$ hanya memiliki $7$ suku (karena $14 = 2(7)$).
Ketika kita memasangkan suku dari deret $m$ dengan suku dari deret $n$ secara berurutan dari kiri ke kanan:
$$(1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \dots + (13 - 14) + 15$$
Dari bilangan $1$ hingga $14$, terdapat $14$ bilangan yang terbagi rata menjadi ganjil dan genap sehingga terbentuk tepat $7$ pasangan aljabar. Karena deret $n$ sudah kehabisan anggota setelah angka $14$, suku terakhir dari deret $m$, yaitu $15$, turun langsung tanpa pasangan.
Menyelesaikan Perhitungan
Nilai selisih yang lebih dari nol menunjukkan bahwa besaran pertama lebih besar dari besaran kedua.
Dari proses pemasangan sebelumnya, kita memperoleh $7$ buah pasangan bilangan yang masing-masing menghasilkan nilai $-1$, serta satu suku sisa yaitu $15$. Mari kita hitung selisih totalnya secara langsung:
$$m - n = [7 \times (-1)] + 15$$
$$m - n = -7 + 15$$
$$m - n = 8$$
Perhitungan ini langsung menggugurkan Opsi D ($m = n + 1$). Pada Opsi D, seseorang hanya melihat nilai selisih satu pasangan saja yaitu bernilai $1$, lalu terburu-buru menyimpulkan bahwa deret pertama hanya berselisih $1$ angka terhadap deret kedua tanpa memperhitungkan banyaknya pasangan dan suku yang tersisa.
Karena hasil selisih $m - n = 8$ bernilai positif ($m - n > 0$), maka secara aljabar terbukti pasti bahwa $m > n$. Dengan demikian, Opsi A adalah jawaban yang benar.