Permutasi vs Kombinasi: Logika Angka
Mendefinisikan Permutasi (Urutan Penting)
Saat kamu ngerjain soal pembuatan PIN aplikasi banking, kamu udah otomatis pakai prinsip matematika penting: Permutasi. Karena kamu suka pendekatan logis langsung, mari kita bedah kenapa perhitungannya kayak gitu.
Dalam membuat PIN 3 digit dari angka $1,2,3,4,5$ tanpa pengulangan, kamu punya 5 pilihan untuk digit pertama, 4 pilihan untuk digit kedua, dan 3 pilihan untuk digit ketiga. Makanya perhitungannya $5 \times 4 \times 3 = 60$.
Metode filling slots (pengisian tempat) ini pada dasarnya adalah permutasi alami. Kenapa? Karena saat kita ngalikan slot per slot, secara otomatis kita sedang memperhatikan urutan.
Bagi mesin ATM atau aplikasi banking, PIN 1-2-3 jelas berbeda maknanya dengan 3-2-1. Kalau urutannya salah, aplikasinya nggak bakal kebuka.
Angka $60$ yang kamu dapatkan itu adalah jumlah semua urutan berbeda yang mungkin terjadi. Susunan $(A, B)$ dihitung terpisah dengan $(B, A)$.
Mari kita uji logikanya.
Dalam membuat PIN 4 digit dari angka 1-9 tanpa pengulangan, kamu menghitung 9 × 8 × 7 × 6 = 3024 kemungkinan. Secara matematis, angka 3024 ini membuktikan bahwa...
- A. Urutan pengisian angka tidak mempengaruhi kode yang terbentuk.
- B. Susunan angka yang sama tetapi urutannya berbeda, dihitung sebagai kode yang berbeda.
- C. Kita sedang mencari kombinasi angka-angka tanpa memedulikan formasinya.
- D. Ada beberapa PIN dengan angka yang persis berulang dihitung di dalamnya.
Jawaban: B. Susunan angka yang sama tetapi urutannya berbeda, dihitung sebagai kode yang berbeda.
Karena dikalikan satu per satu per posisi (9 opsi posisi 1, 8 opsi posisi 2, dsb), sistem slot otomatis menghitung posisi yang berbeda sebagai kode yang beda. Inilah sifat dasar permutasi.
Permutasi menghitung setiap variasi urutan sebagai kejadian yang terpisah/berbeda.
Mendefinisikan Kombinasi (Bebas Urutan)
Sekarang, gimana kalau pertanyaannya diubah sedikit? Bayangkan kamu dikasih 5 kartu angka $1,2,3,4,5$, lalu diminta: "Pilih 3 kartu untuk dijumlahkan nilainya."
Apakah memilih angka $1, 2, 3$ akan memberikan hasil yang berbeda dengan $3, 2, 1$? Tentu enggak. Jumlahnya sama-sama $6$. Di sinilah kita masuk ke Kombinasi.
Kombinasi itu dasarnya adalah permutasi yang dibersihkan dari hitungan ganda (redundansi).
Kalau kita pakai metode filling slots kayak tadi ($5 \times 4 \times 3 = 60$), secara otomatis sistem menghitung $1,2,3$ dan $3,2,1$ sebagai dua hal yang beda (ingat, ini permutasi). Padahal buat urusan ngejumlahin angka, susunan apapun dari tiga angka itu dihitung sebagai satu kelompok yang sama.
Jadi, supaya filling slots (permutasi) berubah menjadi himpunan bebas urutan (kombinasi), total $60$ variasi tadi harus kita bagi dengan jumlah susunan acak per kelompoknya. Total kombinasi $= \frac{60}{6} = 10$ kelompok angka yang berbeda.
Coba tes pemahamanmu soal mengubah permutasi jadi kombinasi.
Jika kita ingin memilih 2 angka dari himpunan {1, 2, 3, 4} semata-mata untuk dijumlahkan nilainya, kamu mencoba menghitung pakai slot: 4 × 3 = 12 kemungkinan. Apa langkah wajib selanjutnya untuk mendapatkan jumlah kombinasi yang tepat?
- A. Berhenti, karena 12 sudah merupakan jumlah kombinasi.
- B. Mengurangkan 12 dengan 2, karena ada 2 angka yang dipilih.
- C. Membagi 12 dengan jumlah cara menyusun 2 angka (yaitu 2×1 = 2).
- D. Membagi 12 dengan total angka awal (yaitu 4).
Jawaban: C. Membagi 12 dengan jumlah cara menyusun 2 angka (yaitu 2×1 = 2).
4 × 3 = 12 adalah permutasi (menganggap (A,B) beda dengan (B,A)). Karena kita hanya menjumlahkan nilainya (urutan tak penting), kita harus buang redundansi dengan membaginya dengan jumlah cara menyusun 2 angka (2! = 2). Kombinasi = 12/2 = 6.
Kombinasi didapat dari permutasi yang dibagi dengan faktorial dari jumlah elemen yang dipilih untuk membuang redundansi urutan.
Peluang Bersyarat: Konsistensi Adalah Kunci
Waktu mengerjakan soal PIN ganjil/genap, kamu udah menerapkan logika prioritas pengisian slot yang bagus banget (mengisi digit belakang duluan). Sekarang kita bahas kenapa perhitungan peluangmu bisa tepat dan valid.
Rumus peluang kejadian dasar adalah $P = \frac{n(A)}{n(S)}$ , di mana $n(A)$ adalah banyak kejadian bersyarat, dan $n(S)$ adalah total ruang sampel.
Krux dari menghitung peluang kombinatorika adalah konsistensi. Karena ruang sampel semestamu ($n(S) = 60$) dihitung dengan memperhatikan urutan (permutasi), maka nilai di bagian atas pembilang ($n(A)$) juga wajib dihitung dengan kerangka logika yang sama, yaitu permutasi.
Saat kamu menghitung PIN genap:
Slot terakhir dikunci: 2 pilihan (angka 2 atau 4).
Slot sisanya: $4 \times 3$ pilihan. Total $n(A) = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
Langkah di atas adalah permutasi dengan syarat. Kamu sedang menyusun dan merangkai posisi elemen. Karena $n(A)$ dan $n(S)$ sama-sama hasil penghitungan filling slots, pembagianmu menjadi valid: $P = \frac{24}{60}$.
Mari pastikan logikamu sudah sejalan.
Mengapa saat menghitung probabilitas sebuah kejadian, kita tidak valid jika membagi hasil perhitungan himpunan kombinasi (n(A) di mana urutan tak penting) dengan ruang sampel permutasi (n(S) di mana urutan penting)?
- A. Karena hasil kombinasi selalu lebih kecil, akan membuat hasil peluang menjadi lebih dari 1.
- B. Karena kerangka ruang sampel penyebut dan himpunan pembilangnya menjadi tidak setara / tidak seimbang perlakuannya.
- C. Karena kombinasi tidak bisa dibagi dengan permutasi.
- D. Pembagian tersebut sebenarnya boleh-boleh saja asalkan tahu rumus faktorialnya.
Jawaban: B. Karena kerangka ruang sampel penyebut dan himpunan pembilangnya menjadi tidak setara / tidak seimbang perlakuannya.
Konsistensi! Peluang adalah rasio kejadian terhadap semestanya. Jika semestanya dihitung dengan memperdulikan urutan kejadiannya (permutasi), maka kriteria himpunan di dalamnya pun harus didefinisikan dengan memperdulikan urutan. Jika tidak, rasio tidak memiliki makna yang valid.
Untuk rasio probabilitas yang valid, semesta sampel (penyebut) dan himpunan kejadian (pembilang) harus memiliki perlakuan yang sama terhadap urutan (sama-sama permutasi atau sama-sama kombinasi).