Mengejar Maksimum: Rahasia Titik Pojok
Kenapa Harus Titik Pojok?
Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi linear pada daerah berbatas selalu terjadi di titik-titik pojok (sudut) daerah tersebut.
Saat kita diminta mencari nilai maksimum dari suatu Fungsi Tujuan seperti $f(x, y) = x + y$, bayangkan kita sedang mengamati persamaan garis lurus $x + y = k$. Nilai $k$ menunjukkan tinggi atau capaian nilai fungsi tersebut.
Secara geometris, garis $x + y = k$ berperan seperti sebuah Garis Selidik atau 'penggaris panjang' yang kita geser sejajar ke arah kanan atas menjauhi titik nol. Makin jauh penggaris ini digeser, nilai $k$ akan semakin besar. Karena bentuk batas daerahnya lurus-lurus (poligon), titik paling terakhir dari Daerah Penyelesaian yang masih bersentuhan dengan penggaris sebelum lepas sepenuhnya selalu berada di ujung sudut terluar, yaitu Titik Pojok.
Itulah sebabnya kita tidak perlu menguji jutaan titik yang tersebar di tengah-tengah daerah arsir. Cukup kumpulkan koordinat setiap Titik Pojok dari daerah penyelesaian, lalu bandingkan nilai fungsinya untuk menemukan nilai optimum.
Diberikan sebuah daerah penyelesaian berbentuk segi lima tertutup dan suatu fungsi tujuan linear. Di manakah posisi titik yang paling mungkin menghasilkan nilai maksimum fungsi tersebut?
- Di pusat (tengah-tengah) area yang diarsir.
- Di salah satu titik sudut segi lima tersebut.
- Di titik acak mana pun yang dekat batas luar.
- Di perpotongan diagonal dalam poligon arsir.
Jawaban: Di salah satu titik sudut segi lima tersebut.
Menurut Teorema Titik Pojok, nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi objektif linear pada daerah tertutup selalu tercapai pada titik sudut (titik pojok) batas luarnya. Titik tengah, titik diagonal, atau titik sembarang di dalam daerah tidak akan pernah melampaui nilai pada titik kontak terluar yang disentuh garis selidik.
Nilai ekstrem fungsi tujuan linear selalu tercapai di salah satu titik pojok (sudut) batas daerah penyelesaian.
Mencari Titik Potong dengan Parameter
Kita tetap bisa menggunakan eliminasi dan substitusi pada dua persamaan garis meskipun salah satu bilangannya berupa huruf variabel (parameter).
Pada soal ini, daerah dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat ($x \ge 0$, $y \ge 0$) serta dua garis batas pembatas:
$2x + y \le 8$
$x + 2y \le b$
Titik sudut terluar yang menjadi pertemuan kedua pembatas tersebut adalah perpotongan garis $2x + y = 8$ dan garis $x + 2y = b$. Walaupun nilai $b$ belum diketahui, kita tetap memperlakukan $b$ layaknya sebuah konstanta biasa dalam aljabar.
Dengan demikian, koordinat Titik Pojok perpotongan tersebut adalah:
$$\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right)$$
Walaupun koordinat ini berbentuk pecahan yang memuat huruf $b$, koordinat ini sah sebagai representasi aljabar titik sudut yang akan kita uji nilainya.
Membongkar Nilai B
Parameter yang belum diketahui dapat ditemukan dengan mencocokkan nilai maksimum Fungsi Tujuan di setiap Titik Pojok dengan nilai ekstrem yang diberikan.
Dari batas-batas daerah penyelesaian pada kuadran pertama ($x \ge 0$, $y \ge 0$), kita mengidentifikasi seluruh Titik Pojok yang membatasi daerah arsir:
Titik asal: $(0, 0)$ dengan $f(0, 0) = 0$
Titik potong sumbu $x$: $(4, 0)$ dengan $f(4, 0) = 4 + 0 = 4$
Titik potong sumbu $y$: $\left(0, \frac{b}{2}\right)$ dengan $f\left(0, \frac{b}{2}\right) = \frac{b}{2}$
Titik potong kedua garis batas: $\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right)$
Kita hitung nilai Fungsi Tujuan $f(x, y) = x + y$ pada titik perpotongan kedua garis tersebut:
$$f\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right) = \frac{16 - b + 2b - 8}{3} = \frac{8 + b}{3}$$
Soal menyatakan bahwa nilai maksimum dari $x + y$ adalah $5$. Karena titik perpotongan merupakan titik terluar yang paling berpeluang memberikan nilai puncak, kita samakan nilai fungsi di titik tersebut dengan $5$:
$$\frac{8 + b}{3} = 5 \implies 8 + b = 15 \implies b = 7$$
Sekarang substitusikan $b = 7$ kembali ke koordinat titik perpotongan:
$$x = \frac{16 - 7}{3} = \frac{9}{3} = 3$$
$$y = \frac{2(7) - 8}{3} = \frac{6}{3} = 2$$
Titik perpotongannya berada tepat di koordinat $(3, 2)$. Karena titik inilah yang menghasilkan nilai maksimum $3 + 2 = 5$, maka Opsi B benar.