Pertidaksamaan Rasional dari Nol

Target Utama dan Pemfaktoran

Langkah pertama menyelesaikan pertidaksamaan adalah memecah bentuk rumit menjadi faktor-faktor sederhananya untuk mencari titik batas.

Pada soal ini, kita berhadapan dengan pertidaksamaan rasional berbentuk pecahan:

$$\frac{x^2 - x - 6}{x - 1} \le 0$$

Simbol $\le 0$ berarti kita ingin mencari nilai-nilai $x$ yang membuat hasil pecahan tersebut bernilai negatif atau tepat nol. Bayangkan garis bilangan seperti sebuah Peta Cuaca Wilayah: sebelum kita tahu wilayah mana yang bersuhu "dingin" (negatif) dan wilayah mana yang "panas" (positif), kita perlu mendirikan pos-pos perbatasan terlebih dahulu. Pos perbatasan ini disebut sebagai titik kritis.

Untuk mencari pos perbatasan di bagian atas pecahan (pembilang), kita faktorkan bentuk kuadrat $x^2 - x - 6$:

  1. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $-6$, dan jika dijumlahkan menghasilkan $-1$.

  2. Dua bilangan tersebut adalah $-3$ dan $2$.

  3. Maka, bentuk pembilang terurai menjadi:

$$(x - 3)(x + 2)$$

Sehingga pecahan lengkapnya menjadi:

$$\frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 1} \le 0$$

Diberikan bentuk pemfaktoran pembilang (x - 3)(x + 2) = 0. Berapakah nilai x yang membuat bagian pembilang ini bernilai tepat nol (titik kritis pembilang)?

  • x = -3 atau x = 2
  • x = 3 atau x = -2
  • x = 3 atau x = 2
  • x = -6

Jawaban: x = 3 atau x = -2

Untuk mencari titik kritis pembilang, buat setiap faktor sama dengan nol: x - 3 = 0 menghasilkan x = 3, dan x + 2 = 0 menghasilkan x = -2. Opsi A keliru karena lupa membalik tanda saat pindah ruas.

Cara mencari pembuat nol dari faktor linier pembilang.

Syarat Wajib Pecahan

Penyebut dalam pecahan tidak boleh bernilai nol, sehingga titik kritis dari penyebut selalu berupa batas wilayah yang tidak boleh disentuh.

Dalam matematika, pembagian dengan angka nol tidak pernah terdefinisi. Oleh sebab itu, bagian bawah pecahan (penyebut) memiliki aturan mutlak yang harus selalu dipenuhi: penyebut tidak boleh sama dengan nol.

Pada pecahan kita:

$$\frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 1} \le 0$$

Penyebutnya adalah $x - 1$. Jika kita cari pembuat nol penyebut:

$$x - 1 = 0 \implies x = 1$$

Dalam analogi Peta Cuaca Wilayah, titik $x = 1$ adalah pos perbatasan berbahaya yang wajib diberi tanda lingkaran kosong, apa pun simbol pertidaksamaannya.

Sekarang, kita sudah mengumpulkan seluruh titik kritis yang membagi garis bilangan menjadi beberapa wilayah:

Karena soal menggunakan tanda lebih kecil sama dengan (<= 0), apakah nilai x = 1 boleh ikut dimasukkan ke dalam himpunan penyelesaian?

  • Tidak, karena x = 1 membuat penyebut menjadi nol (pecahan tak terdefinisi).
  • Boleh, karena tanda <= mengizinkan nilai batas untuk ikut masuk.
  • Tidak, karena angka 1 adalah bilangan bulat positif.
  • Boleh, asalkan pembilangnya bernilai lebih besar dari satu.

Jawaban: Tidak, karena x = 1 membuat penyebut menjadi nol (pecahan tak terdefinisi).

Nilai x = 1 membuat penyebut x - 1 = 0. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi dalam matematika, sehingga batas dari penyebut tidak boleh disertakan dalam penyelesaian terlepas dari ada tidaknya tanda <= pada soal.

Aturan dasar penyebut pecahan tidak boleh nol.

Uji Tanda di Garis Bilangan

Garis bilangan dan titik uji digunakan untuk mengetahui tanda (positif/negatif) dari setiap interval wilayah.

Tiga titik batas yang kita peroleh ($-2$, $1$, dan $3$) membagi garis bilangan menjadi empat zona wilayah:

  1. Wilayah paling kiri: $x < -2$

  2. Wilayah tengah kiri: $-2 < x < 1$

  3. Wilayah tengah kanan: $1 < x < 3$

  4. Wilayah paling kanan: $x > 3$

Kita gambarkan titik $x = -2$ dan $x = 3$ dengan bulatan penuh (karena boleh bernilai nol saat pembilang nol), sedangkan $x = 1$ digambar dengan bulatan kosong (karena penyebut tak boleh nol).

Garis bilangan dengan titik kritis -2, 1, 3 membagi empat wilayah dengan tanda negatif, positif, negatif, positif.

Untuk menentukan apakah suatu wilayah bersuhu "dingin" (negatif) atau "panas" (positif), kita tidak perlu menghitung setiap bilangan. Cukup ambil satu titik perwakilan sebagai "stasiun cuaca" di wilayah tersebut untuk melakukan uji tanda: