Geometri Ruang: Membelah Kubus dengan Titik di Luar
Meletakkan Kubus di Koordinat 3D
Mengubah kubus menjadi koordinat 3D membuat titik-titik yang sulit dibayangkan menjadi angka yang pasti.
Bayangkan kubus sebagai sebongkah tahu berbentuk kubus dengan panjang rusuk 10 cm. Jika kita meletakkan titik sudut $A$ tepat di pusat koordinat $(0, 0, 0)$, kita memiliki acuan sumbu ruang yang jelas:
Sumbu $X$ mengarah ke samping kanan ($B$ di $(10, 0, 0)$).
Sumbu $Y$ mengarah ke belakang atau kedalaman ($D$ di $(0, 10, 0)$).
Sumbu $Z$ mengarah tegak lurus ke atas ($E$ di $(0, 0, 10)$).
Titik $Q$ berada tepat di tengah rusuk $BF$. Karena rusuk $BF$ membentang vertikal dari $(10, 0, 0)$ ke $(10, 0, 10)$, ketinggian titik $Q$ adalah separuh dari rusuk kubus, yaitu $z = 5$. Jadi, koordinat $Q$ adalah $(10, 0, 5)$.
Bagaimana dengan titik $P$? Titik $P$ berada pada perpanjangan rusuk $HG$ di bagian atas-belakang dengan syarat $HG = GP$. Rusuk $HG$ membentang searah sumbu $X$ dari $H(0, 10, 10)$ menuju $G(10, 10, 10)$, dengan vektor arah $\vec{HG} = (10, 0, 0)$. Karena diperpanjang lagi sepanjang $GP = 10$ searah rusuk tersebut, titik $P$ melesat keluar kubus ke koordinat:
$$P = (10 + 10, 10, 10) = (20, 10, 10)$$
Menemukan Persamaan Pisau Pemotong
Persamaan bidang yang melewati tiga titik dapat dicari dengan menggunakan perkalian silang (cross product) dari dua vektor arah.
Bidang $PQA$ yang membelah tahu kubus kita dapat diibaratkan sebagai pisau lurus datar. Agar kita tahu persis bagian mana saja dari kubus yang teriris pisau ini, kita perlu menentukan persamaan matematis bidang tersebut. Karena bidang ini melalui titik asal $A(0, 0, 0)$, kita dapat membentuk dua vektor arah langsung dari $A$:
$$\vec{AQ} = Q - A = (10, 0, 5) - (0, 0, 0) = (10, 0, 5)$$
$$\vec{AP} = P - A = (20, 10, 10) - (0, 0, 0) = (20, 10, 10)$$
Kemiringan dari pisau ditentukan oleh vektor normal, yaitu vektor yang arahnya tegak lurus sempurna terhadap kedua vektor $\vec{AQ}$ dan $\vec{AP}$. Vektor normal $\vec{n}$ ini diperoleh lewat perkalian silang (cross product):
$$\vec{n} = \vec{AQ} \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 10 & 0 & 5 \\ 20 & 10 & 10 \end{vmatrix}$$
$$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 10 - 5 \cdot 10) - \mathbf{j}(10 \cdot 10 - 5 \cdot 20) + \mathbf{k}(10 \cdot 10 - 0 \cdot 20)$$
$$\vec{n} = (-50, 0, 100)$$
Vektor normal $(-50, 0, 100)$ dapat disederhanakan dengan membagi seluruh komponennya dengan $-50$, menghasilkan perbandingan arah vektor normal $(1, 0, -2)$.
Persamaan umum bidang dengan vektor normal $(a, b, c)$ adalah $ax + by + cz = d$. Karena bidang melewati $A(0, 0, 0)$, substitusi titik $A$ menghasilkan:
$$1(0) + 0(0) - 2(0) = d \implies d = 0$$
Dengan demikian, persamaan pisau pemotong adalah:
$$x - 2z = 0 \iff x = 2z \iff z = \frac{x}{2}$$
Sebuah bidang datar melewati titik pusat koordinat (0, 0, 0) dan memiliki vektor normal (2, -1, 3). Bagaimanakah bentuk persamaan bidang datar tersebut?
- 2x - y + 3z = 4
- 2x - y + 3z = 0
- x + y + z = 0
- 2x - y + 3z = 1
Jawaban: 2x - y + 3z = 0
Persamaan bidang dengan vektor normal (a, b, c) berbentuk ax + by + cz = d. Karena bidang melalui titik pusat koordinat (0, 0, 0), substitusi x=0, y=0, z=0 ke persamaan langsung menghasilkan d = 0, sehingga persamaannya menjadi 2x - y + 3z = 0. Opsi D salah karena mengira d selalu 1, Opsi A salah karena menjumlahkan komponen normal, dan Opsi C salah karena mengabaikan vektor normal.
Menentukan nilai konstanta persamaan bidang jika bidang melewati titik asal pusat (0,0,0)
Jejak Pisau pada Kubus
Jejak potongan bidang pada kubus dapat ditemukan dengan mengecek perpotongannya dengan setiap sisi kubus.
Setelah kita memiliki persamaan pisau $x = 2z$ atau $z = \frac{x}{2}$, kita dapat melacak garis batas di mana pisau tersebut menyayat tahu kubus. Kubus kita dibatasi oleh interval $0 \le x \le 10$, $0 \le y \le 10$, dan $0 \le z \le 10$.
Mari kita amati titik temu pisau pada sisi-sisi kubus:
Pada sisi kiri kubus ($x = 0$): nilai $z = \frac{0}{2} = 0$. Artinya, pisau memotong tepat di sepanjang rusuk alas $AD$.
Pada sisi kanan kubus ($x = 10$): nilai $z = \frac{10}{2} = 5$.
Pada rusuk depan-kanan $BF$ ($x = 10, y = 0$): potongannya berada di $z = 5$, yaitu titik $Q(10, 0, 5)$.
Pada rusuk belakang-kanan $CG$ ($x = 10, y = 10$): potongannya berada di $z = 5$, yaitu titik $R(10, 10, 5)$ yang merupakan titik tengah rusuk $CG$.
Hubungan ini memperlihatkan irisan bidang yang memotong kubus membentuk segiempat miring $ADRQ$. Jika dilihat dari samping pada bidang $XZ$, bentuk potongan di bawah pisau adalah segitiga siku-siku dengan alas $10$ dan tinggi tegak $5$. Karena persamaan bidang tidak dipengaruhi oleh $y$, profil segitiga ini memiliki ukuran yang sama persis mulai dari dinding depan ($y = 0$) hingga dinding belakang kubus ($y = 10$).