Mencari Fungsi Luar: Dari Tebakan ke Sistematis

Tebak-tebakan vs Cara Pasti

Mencari fungsi luar bisa dilakukan dengan menebak pola dari bentuk akhirnya, tetapi butuh intuisi aljabar yang kuat.

Bayangkan komposisi fungsi sebagai pola kotak input operasi angka. Pada soal, kita mengetahui fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = 2x^2 - 4x + 1$ dan fungsi dalam $g(x) = x - 1$. Nilai input $x$ mula-mula diproses oleh kotak $g(x)$ menjadi $(x - 1)$, lalu hasilnya masuk ke kotak fungsi luar $f$ hingga menghasilkan $2x^2 - 4x + 1$.

Jika kita menguji Opsi A yang menduga $f(x) = 2x^2 - 1$, memasukkan $(x - 1)$ ke dalam $f$ memang menghasilkan:

$$f(x-1) = 2(x-1)^2 - 1 = 2(x^2 - 2x + 1) - 1 = 2x^2 - 4x + 1$$

Hasil ini tepat cocok dengan soal. Cara coba-coba ini praktis untuk soal pilihan ganda, tetapi memiliki kelemahan besar: jika pilihan ganda tidak tersedia atau bentuk fungsinya jauh lebih kompleks, kita tidak bisa bergantung pada tebakan. Kita membutuhkan metode aljabar pasti yang bekerja di segala kondisi.

Senjata Utama: Pemisalan Variabel

Untuk menemukan bentuk murni fungsi luar $f(x)$, kita mengganti fungsi dalam dengan satu variabel baru sementara.

Bentuk awal yang kita miliki adalah:

$$f(x - 1) = 2x^2 - 4x + 1$$

Di sini, kotak fungsi $f$ belum menerima satu variabel bersih, melainkan masih mengikat operasi $(x - 1)$. Jika kita langsung menjabarkan ruas kanan tanpa arah, variabel $x$ tetap terikat pada relasi lama.

1. Buat pemisalan: Misalkan $a = x - 1$.

2. Nyatakan $x$ dalam $a$: Pindahkan konstanta sehingga diperoleh $x = a + 1$.

3. Substitusi serentak ke ruas kanan: Ganti setiap simbol $x$ dengan bentuk $(a + 1)$.

$$f(a) = 2(a + 1)^2 - 4(a + 1) + 1$$

Sekarang seluruh ruas kanan sudah sepenuhnya dinyatakan dalam variabel baru $a$, siap untuk dijabarkan secara teratur.

Menemukan Bentuk Murni f(x)

Hasil penjabaran variabel sementara '$a$' dapat langsung diganti kembali menjadi '$x$' sebagai bentuk fungsi dasar $f(x)$.

Mari kita jabarkan kuadrat dan kalikan suku-suku pada ruas kanan secara runtut:

$$f(a) = 2(a^2 + 2a + 1) - 4a - 4 + 1$$

$$f(a) = 2a^2 + 4a + 2 - 4a - 3$$

$$f(a) = 2a^2 - 1$$

Perhatikan bahwa suku $4a$ dan $-4a$ saling menghilangkan. Karena huruf '$a$' hanyalah penampung sementara dari kotak input, kita dapat mengembalikan nama variabelnya menjadi '$x$':

$$f(x) = 2x^2 - 1$$

Langkah aljabar ini membuktikan secara pasti bahwa Opsi A benar. Dengan fungsi dasar yang sudah di tangan, kita juga bisa langsung menguji Opsi C yang menanyakan nilai $f(3)$:

$$f(3) = 2(3)^2 - 1 = 2(9) - 1 = 18 - 1 = 17$$

Maka, perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi C juga benar.