Teorema Bayes: Dari Intuisi ke Rumus

Jebakan Persentase

Mesin dengan tingkat kerusakan tertinggi belum tentu menghasilkan produk rusak terbanyak jika volume produksinya kecil.

Intuisi kita sering kali terkecoh oleh angka persentase yang besar. Saat melihat bahwa Mesin III memiliki tingkat kerusakan $4\%$ sedangkan Mesin I hanya $2\%$, kita cenderung mengira Mesin III adalah penyumbang masalah terbesar. Padahal, kita tidak bisa menilai jumlah kerusakan hanya dari persentasenya saja tanpa melihat seberapa banyak barang yang diproduksi oleh masing-masing mesin.

Untuk melihat gambaran nyatanya secara adil, bayangkan pabrik ini memproduksi total 1000 baut. Berdasarkan porsi produksinya:

• Mesin I ($60\%$): memproduksi $600\text{ baut}$

• Mesin II ($30\%$): memproduksi $300\text{ baut}$

• Mesin III ($10\%$): memproduksi $100\text{ baut}$

Menghitung Total Baut Rusak

Probabilitas Total sebuah kejadian adalah gabungan dari semua jalur yang bisa menyebabkan kejadian tersebut.

Dengan membayangkan total $1000\text{ baut}$, kita dapat langsung menghitung jumlah fisik baut yang rusak dari setiap jalur mesin:

• Mesin I: $2\% \times 600 = 12\text{ baut rusak}$

• Mesin II: $3\% \times 300 = 9\text{ baut rusak}$

• Mesin III: $4\% \times 100 = 4\text{ baut rusak}$

Ketika seluruh baut rusak ini digabungkan, total baut rusak di pabrik adalah:

$$12 + 9 + 4 = 25\text{ baut rusak}$$

Hasil ini menunjukkan bahwa Mesin I justru menyumbang baut rusak paling banyak ($12\text{ baut}$), meskipun persentase kerusakannya paling rendah. Memahami total ini sangat penting karena angka $25$ inilah yang menjadi dasar keseluruhan saat kita mengevaluasi produk rusak. Pilihan seperti Opsi B ($\frac{12}{23}$) keliru karena penyebutnya salah hitung dan tidak mencakup seluruh baut rusak yang sebenarnya ada di pabrik.

Membandingkan Bagian dengan Keseluruhan

Peluang Bersyarat diperoleh dengan membandingkan kontribusi satu jalur spesifik terhadap total semua jalur yang mungkin.

Kunci memahami soal ini ada pada kalimat: "Jika sebuah baut dipilih secara acak dan ternyata rusak...". Informasi bahwa baut yang diambil sudah terbukti rusak mengubah fokus kita secara total. Ruang semesta yang kita tinjau tidak lagi mencakup keseluruhan $1000\text{ baut}$, melainkan menyusut menjadi hanya 25 baut yang rusak.

Dari total $25\text{ baut rusak}$ tersebut, kita tinggal melihat berapa banyak yang berasal dari jalur target kita, yaitu Mesin I. Karena Mesin I menyumbang $12\text{ baut rusak}$, peluang baut rusak tersebut dibuat oleh Mesin I adalah:

$$\frac{12}{25}$$

Perhitungan ini langsung memvalidasi Opsi A sebagai jawaban yang benar. Sebaliknya, Opsi E ($\frac{9}{23}$) keliru karena pembilangnya mengambil kontribusi Mesin II ($9\text{ baut}$) serta membaginya dengan total penyebut yang salah hitung.