Barisan Geometri: Mengapa Tidak (n-1)?
Aritmetika vs Geometri
Pola dengan pelipatgandaan (dikali angka tetap) adalah barisan geometri, sedangkan pola penambahan angka tetap adalah barisan aritmetika.
Bayangkan kamu melihat sekumpulan objek berkembang biak: dari $10$ menjadi $20$, lalu menjadi $40$. Pola tersebut tidak didapat dari menambahkan angka yang sama setiap waktu. Nilai tersebut diperoleh dari mengalikan bilangan sebelumnya dengan angka $2$.
Sebaliknya, jika suatu jumlah sekadar bertambah secara tetap—misalnya bertambah $10$ setiap ronde sehingga urutannya menjadi $10$, $20$, $30$—maka pola tersebut dinamakan barisan aritmetika.
Dalam soal, disebutkan bahwa bakteri "membelah diri menjadi dua". Pernyataan ini menunjukkan bahwa jumlah bakteri selalu dikalikan $2$ setiap kali membelah. Kondisi ini merupakan ciri mutlak dari barisan geometri dengan rasio $r = 2$.
Waktu Ke-0 vs Pembelahan Ke-1
Suku awal dalam kejadian nyata sering terjadi pada waktu ke-$0$ sebelum proses pelipatgandaan dimulai.
Banyak orang mengira jumlah bakteri mula-mula langsung menjadi urutan pertama di dalam proses membelah. Padahal, pada awal pengamatan (menit ke-$0$), ada $30$ bakteri di dalam cawan petri. Nilai $30$ ini disebut suku awal atau jumlah mula-mula, dan di titik ini proses pembelahan belum berjalan sama sekali.
Setelah waktu berjalan selama $15\text{ menit}$, barulah terjadi pembelahan pertama. Jumlah bakteri berlipat ganda menjadi $30 \times 2 = 60$. Ketika waktu memasuki menit ke-$30$ (dua interval telah berlalu), terjadi pembelahan kedua, sehingga jumlahnya menjadi $30 \times 2 \times 2 = 30 \times 2^2 = 120$.
Pola pangkatnya mengikuti berapa kali interval waktu sudah berlalu secara persis. Karena pengamatan bertolak dari menit ke-$0$, eksponen pengali sama persis dengan banyaknya interval yang terjadi tanpa perlu dikurangi apa pun.
Membongkar Rumus (n-1)
Rumus geometri baku $U_n$ memakai pangkat $(n - 1)$ karena melompat dari urutan pertama, sedangkan perhitungan pertumbuhan sering kali melompat dari kejadian ke-$0$.
Buku pelajaran umumnya menuliskan rumus barisan geometri sebagai:
$$U_n = a \cdot r^{n-1}$$
Mengapa pada rumus tersebut ada pengurangan $1$? Karena dalam barisan formal, penghitungan dimulai dari urutan ke-$1$ ($U_1 = a$). Untuk mencapai urutan ke-$3$ ($U_3$), kamu hanya perlu melompat dan mengalikan rasio sebanyak dua kali ($3 - 1 = 2$), sehingga rumusnya menjadi $a \cdot r^2$.