Nilai Mutlak: Jarak Geometris dan Aljabar

Arti Kurung Garis Tegak

Simbol nilai mutlak $|x|$ secara aljabar menyatakan jarak suatu angka ke titik nol pada garis bilangan, yang berarti nilainya tidak pernah negatif.

Simbol kurung garis tegak $|...|$ dibaca nilai mutlak. Secara matematis murni, $|x|$ mengukur seberapa jauh angka $x$ dari angka $0$ pada garis bilangan aljabar. Karena konsep jarak tidak memiliki arah (tidak ada jarak yang bernilai negatif), hasil dari nilai mutlak selalu bernilai positif atau nol. Misalnya, $|3| = 3$ dan $|-3| = 3$.

Ketika kita menjumpai pertidaksamaan $|x| \le 3$, artinya secara aljabar adalah: semua angka $x$ yang memiliki jarak ke titik $0$ tidak lebih dari $3$. Karena melangkah ke arah kiri menghasilkan bilangan negatif dan ke arah kanan menghasilkan bilangan positif, bentuk ini dapat langsung kita ubah menjadi pertidaksamaan ganda:

Sebagai contoh, jika kita mencari nilai $x$ yang memenuhi $|x| \le 4$, solusinya adalah semua bilangan real pada rentang $-4 \le x \le 4$.

Menyelesaikan $|x - a| \le b$

Bentuk $|x - a| \le b$ dapat dijabarkan secara aljabar menjadi $-b \le x - a \le b$, lalu diselesaikan dengan menambah $a$ ke semua ruas.

Pada soal, termostat diatur dengan pertidaksamaan $|T - 22| \le 1{,}5$. Berdasarkan sifat nilai mutlak sebagai jarak tanpa arah dari titik $22$, kita buka tanda mutlaknya menjadi pertidaksamaan ganda:

Tujuan utama aljabar kita adalah mengisolasi variabel $T$ agar berdiri sendiri di ruas tengah. Untuk menghilangkan pengurangan $22$, kita tambahkan $22$ ke ketiga ruas pertidaksamaan:

Dari rentang penyelesaian ini, kita dapat mengevaluasi kebenaran pernyataan pada soal secara langsung:

• Opsi A benar: Batas suhu minimum yang diizinkan adalah $20{,}5^\circ\text{C}$.

• Opsi E salah: Batas minimum adalah $20{,}5^\circ\text{C}$, bukan $20{,}0^\circ\text{C}$. Pilihan $20{,}0^\circ\text{C}$ muncul akibat membulatkan selisih $1{,}5$ menjadi $2$.

• Opsi B salah: Batas suhu maksimum adalah $23{,}5^\circ\text{C}$, bukan $23{,}0^\circ\text{C}$.

• Opsi C salah: Nilai $24^\circ\text{C}$ berada di atas batas maksimum $23{,}5^\circ\text{C}$, sehingga berada di luar rentang yang diizinkan.

Menghitung Rentang Total

Rentang total dari sebuah himpunan nilai dihitung murni dengan mengurangi nilai maksimum dengan nilai minimum.

Dalam matematika dan statistika terapan, istilah rentang (range) memiliki definisi operasional yang baku. Rentang mengukur total bentangan nilai dari ujung bawah ke ujung atas:

Berdasarkan batas suhu yang telah kita peroleh pada halaman sebelumnya:

• Suhu maksimum ($T_{\text{maks}}$) = $23{,}5^\circ\text{C}$

• Suhu minimum ($T_{\text{min}}$) = $20{,}5^\circ\text{C}$

Maka perhitungannya adalah:

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi D benar.

Pola toleransi semacam ini sering muncul pada spesifikasi mesin atau kontrol kualitas industri, di mana deviasi nilai plus-minus diizinkan berada di sekitar titik target tertentu.