Rahasia Digit Terakhir: Berburu Pasangan 2 dan 5
Aturan Emas Digit Terakhir
Pernahkah kamu melihat perkalian angka acak yang sangat panjang, misalnya $13 \times 25 \times 44 \times 97$, lalu diminta mencari digit terakhirnya? Kalau kamu mencoba mengalikannya satu per satu secara manual dari depan, wajar kalau kamu merasa kebingungan atau menyerah di tengah jalan. Angkanya akan sangat besar!
Tapi, coba ingat kembali bagaimana kita melakukan perkalian bersusun ke bawah saat di sekolah dasar. Saat kita mengalikan dua bilangan, angka puluhan, ratusan, dan seterusnya akan selalu digeser ke kiri. Mereka tidak akan pernah menyentuh kolom satuan (paling kanan). Kolom satuan itu murni dihasilkan dari perkalian antar digit satuan saja.
Mari kita coba simulasinya di atas. Ganti angka depan dengan berapapun, perhatikan bahwa digit terakhir hasil akhirnya tidak akan berubah selama digit satuannya tetap.
Jika ditanya digit terakhir dari hasil $37 \times 104 \times 889$, apa cara paling cepat untuk mengetahuinya?
- A. Mengalikan dari depan perlahan-lahan
- B. Menambahkan semua angka tersebut
- C. Hanya melihat dan mengalikan digit satuannya saja ($7 \times 4 \times 9$)
- D. Membulatkan angka-angkanya ke puluhan terdekat
Jawaban: C. Hanya melihat dan mengalikan digit satuannya saja ($7 \times 4 \times 9$)
Angka di depan (puluhan, ratusan) tidak memengaruhi kolom paling kanan. Kita cukup mencari digit terakhir dari $7 \times 4 \times 9$.
Digit terakhir hasil perkalian hanya bergantung pada digit terakhir angka penyusunnya.
Mesin Pabrik Penentu Angka 0
Sekarang, mari kita ubah cara pandang kita dari "berapakah total hasil kali semua bilangan?" menjadi sekadar proses pemindaian.
Kamu pasti sudah tahu bahwa bilangan berapapun, entah itu $7, 42,$ atau $1.234.567$, jika dikalikan dengan $10$, digit terakhirnya pasti $0$. Ini adalah fakta dasar dalam sistem bilangan desimal kita.
Jika dalam sebuah rentetan perkalian panjang terdapat elemen pembentuk angka $10$, maka hasil akhirnya pasti berujung $0$, seberapapun acaknya angka lain. Kita hanya perlu mencari: "adakah angka 10 di dalam deretan ini?"
Merakit 10 dari Suku Cadang Prima
Lalu, bagaimana jika tidak ada angka $10$ yang tampak secara eksplisit? Misal kita kembali ke contoh $13 \times 25 \times 44 \times 97$. Sekilas, tidak ada angka $10$. Apakah berarti digit terakhirnya bukan $0$?
Belum tentu! Lanjutkan analogi pabrik kita: Angka $10$ bukanlah bentuk yang paling dasar. Ia bisa 'dirakit' jika kita punya suku cadangnya. Dalam matematika, suku cadang ini adalah faktor prima. Angka $10$ adalah hasil rakitan mutlak dari dua suku cadang prima: angka $2$ dan angka $5$ ($2 \times 5 = 10$).
Mari kita bongkar angka-angka tadi menjadi suku cadang dasarnya (faktorisasi prima):
Angka $25$ menyimpan dua buah suku cadang $5$ karena $25 = 5 \times 5$.
Angka $44$ menyimpan suku cadang $2$ karena $44 = 2 \times 2 \times 11$.
Jadi, alih-alih mengalikan semua digit secara manual, cukup jadilah "detektif suku cadang". Cari keberadaan angka $2$ dan angka $5$.
Tanpa menghitung hasil akhirnya, apakah perkalian $17 \times 35 \times 16 \times 81$ memiliki digit terakhir 0? Kenapa?
- A. Tidak, karena tidak ada angka yang berakhiran 0.
- B. Ya, karena ada faktor 5 (dari 35) dan faktor 2 (dari 16).
- C. Tidak, karena kita harus menjumlahkannya, bukan mengalikan.
- D. Ya, karena semua bilangan ganjil jika dikalikan menghasilkan 0.
Jawaban: B. Ya, karena ada faktor 5 (dari 35) dan faktor 2 (dari 16).
35 memiliki faktor 5 (5x7) dan 16 memiliki banyak faktor 2 (2x2x2x2). Ada pasangan (2,5), jadi pasti ada pengali 10, sehingga berujung 0.
Keberadaan faktor 2 dan 5 dalam perkalian memastikan munculnya kelipatan 10, yang berujung pada digit terakhir 0.