Jarak Titik ke Garis pada Kubus

Membongkar Garis dalam Kubus

Mencari jarak di dalam ruang 3D selalu berawal dari menemukan segitiga datar yang menghubungkan titik dan garis yang ditanya.

Di soal ini, kita ingin mencari jarak terpendek dari Titik B (tenda) ke Pita $EG$ (sungai). Menatap garis yang melayang di dalam ruang kubus sering kali bikin bingung karena otak kita kesulitan mengukur kedalaman 3D secara langsung.

Solusinya, jangan bayangkan kubus utuh sekaligus. "Gunting" dan keluarkan objek yang kita minati dengan menarik garis bantu dari $B$ ke $E$ dan dari $B$ ke $G$. Lewat tiga titik sudut ini, terbentuklah bidang datar segitiga $BEG$.

Dengan memindahkan persoalan ke satu segitiga datar, kita tidak perlu lagi pusing memikirkan ruang kubus tiga dimensi di sekelilingnya.

Menebak Bentuk Segitiga

Segitiga yang kita keluarkan dari kubus sering kali punya sisi yang terbuat dari garis-garis spesial, seperti diagonal bidang.

Sekarang kita selidiki sisi-sisi pada segitiga $BEG$:

• Sisi $EG$ melintang membelah atap persegi kubus. Garis ini adalah diagonal bidang. Karena rusuk kubus berukuran $6\text{ cm}$, panjang $EG$ adalah $6\sqrt{2}\text{ cm}$.

• Sisi $BE$ menempel melintang di dinding kiri kubus ($ABFE$). Ini juga diagonal bidang persegi berukuran $6\sqrt{2}\text{ cm}$.

• Sisi $BG$ menempel melintang di dinding belakang kubus ($BCGF$). Garis ini pun diagonal bidang yang panjangnya $6\sqrt{2}\text{ cm}$.

Karena ketiga sisinya sama panjang ($BE = BG = EG = 6\sqrt{2}\text{ cm}$), segitiga $BEG$ merupakan segitiga sama sisi.

Pythagoras untuk Jarak Terpendek

Jarak tegak lurus pada segitiga sama sisi dapat dicari dengan membelah segitiga tersebut dan menerapkan Teorema Pythagoras biasa.

Jarak terpendek dari Titik B ke garis $EG$ adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik $B$ dan jatuh tegak lurus ($90^\circ$) tepat di Tengah EG. Garis ini adalah proyeksi ortogonal titik $B$ pada ruas garis $EG$.

Garis tinggi ini membelah segitiga sama sisi $BEG$ menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen:

• Sisi miring $= 6\sqrt{2}\text{ cm}$

• Sisi alas (setengah dari panjang $EG$) $= \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\text{ cm}$

Tinggi segitiga (jarak terpendek) langsung dihitung dengan rumus Pythagoras:

$$\text{Tinggi} = \sqrt{\text{Miring}^2 - \text{Alas}^2}$$

$$\text{Tinggi} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 - 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\text{ cm}$$

Inilah alasan mengapa Opsi C bernilai tepat.