Fondasi Aljabar Proyeksi Vektor

Makna Geometris Tegak Lurus

Sering kali, tantangan terbesar di soal vektor yang dibalut bangun datar (seperti layang-layang) adalah bingung memulainya. Bagaimana menerjemahkan informasi geometri ke dalam operasi aljabar vektor?

Mari kita bedah informasi paling krusial di soal: "diagonal $AC \perp BD$ di titik $E$".

Dalam geometri, lambang $\perp$ berarti garis tegak lurus (membentuk sudut $90^\circ$). Kalau kita melihat ujung panah $\vec{AB}$ yang berada di titik $B$, lalu kita proyeksikan (kita "jatuhkan" secara tegak lurus) bayangannya ke garis $AC$, titik jatuhnya akan persis berada di perpotongan kedua diagonal tersebut, yaitu titik $E$.

Secara matematis, kejadian ini mendefinisikan bahwa vektor $\vec{AE}$ adalah proyeksi ortogonal (tegak lurus) dari vektor $\vec{AB}$ ke arah vektor $\vec{AC}$.

Karena diagonal BD dan AC saling tegak lurus di E, secara konsep vektor ini berarti...

  • Titik E berada tepat di tengah AC
  • Vektor AE pasti sama panjangnya dengan vektor AB
  • Garis BE bertindak sebagai garis jatuh proyeksi tegak lurus dari ujung vektor AB ke garis AC
  • Vektor AC adalah proyeksi dari vektor AB

Jawaban: Garis BE bertindak sebagai garis jatuh proyeksi tegak lurus dari ujung vektor AB ke garis AC

Karena tegak lurus, titik potong E adalah proyeksi ortogonal titik B ke ruas garis AC. Garis jatuh proyeksinya adalah BE yang tegak lurus AC.

Tegak lurus pada diagonal bermakna titik potong (E) adalah hasil proyeksi ortogonal salah satu vektor pembentuk ke diagonal lainnya.

Menurunkan Rumus Vektor Proyeksi

Kalau kamu mengingat rumus proyeksi vektor tapi sering terbalik atau bingung "kenapa penyebutnya harus dikuadratkan dan dikali vektor lagi?", mari kita buktikan secara aljabar.

Sebuah vektor hasil proyeksi (yaitu $\vec{AE}$) membutuhkan dua hal pembentuk: Panjang (Skalar) dan Arah.

  1. Panjang (Skalar): Dari konsep trigonometri dan dot product, panjang proyeksi $\vec{AB}$ pada $\vec{AC}$ adalah: $|\vec{AE}| = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|}$

  2. Arah: Karena $\vec{AE}$ berhimpit pada garis $AC$, arahnya persis sama dengan arah vektor $\vec{AC}$. Arah direpresentasikan oleh vektor satuan (vektor berpanjang 1) dari $\vec{AC}$, yaitu: $\text{Arah} = \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$

Sekarang, satukan keduanya secara aljabar murni: $\vec{AE} = \text{Panjang} \times \text{Arah}$ $\vec{AE} = \left( \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|} \right) \times \left( \frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|} \right)$

Kalikan bagian pecahan (penyebut ketemu penyebut), dan kita dapatkan rumus finalnya: $\vec{AE} = \left( \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AC}|^2} \right) \vec{AC}$

Kenapa pada rumus vektor proyeksi ortogonal, penyebutnya dipangkatkan dua (kuadrat) dan dikali vektor utuh di belakangnya?

  • Mengubah arah vektor hasil agar berlawanan
  • Karena merupakan hasil perkalian panjang proyeksi dengan panjang dari arah vektor satuan pembaginya
  • Untuk menyederhanakan perhitungan dot product di pembilang
  • Itu hanya konvensi penulisan agar mudah dihafal

Jawaban: Karena merupakan hasil perkalian panjang proyeksi dengan panjang dari arah vektor satuan pembaginya

Penyebut menjadi kuadrat karena panjang vektor penyebut dikalikan lagi dengan pembagi dari vektor satuan arahnya (Arah = vec(AC) / |vec(AC)|).

Rumus vektor proyeksi mengandung pengali arah (vektor satuan), sehingga penyebutnya menjadi kuadrat.

Penjumlahan Vektor Segaris (Kolinear)

Setelah kamu bisa mencari nilai vektor $\vec{AE}$, soal menanyakan vektor $\vec{EC}$. Bagaimana menghubungkannya?

Perhatikan bahwa titik $A, E,$ dan $C$ terletak pada satu garis lurus yang sama (kolinear) dan posisinya berurutan. Di sinilah Aturan Rantai Vektor (penjumlahan pangkal-ke-ujung) bekerja paling elegan.

Bayangkan kamu berjalan dari titik $A$ ke $C$. Sama saja kan dengan kamu berjalan dulu dari $A$ ke $E$, lalu dilanjutkan dari $E$ ke $C$? Dalam bahasa aljabar vektor, pergerakan ini ditulis mutlak sebagai: $\vec{AC} = \vec{AE} + \vec{EC}$

Karena yang ingin kita cari adalah $\vec{EC}$, kita tinggal memanipulasi persamaannya secara aljabar dengan memindah ruas: $\vec{EC} = \vec{AC} - \vec{AE}$

Jika diketahui vektor $vec(AE)$ dan vektor total $vec(AC)$ pada satu garis lurus yang sama, operasi aljabar apa yang tepat untuk mencari $vec(EC)$?

  • $vec(EC) = vec(AC) - vec(AE)$
  • $vec(EC) = vec(AE) - vec(AC)$
  • $vec(EC) = vec(AC) + vec(AE)$
  • $vec(EC) = (vec(AE) \cdot vec(AC)) / 2$

Jawaban: $vec(EC) = vec(AC) - vec(AE)$

Karena A, E, dan C segaris, berlaku rantai vektor $vec(AC) = vec(AE) + vec(EC)$. Dengan memindah ruas, didapat $vec(EC) = vec(AC) - vec(AE)$.

Vektor-vektor yang ujung dan pangkalnya bersambung pada garis lurus dapat langsung dijumlahkan (Aturan Poligon).