Menaklukkan Pecahan Bentuk Akar

Misi Utama: Mencari 'Kembaran'

Pernahkah kamu melihat bentuk pecahan dengan banyak akar yang terkesan rumit dan berantakan? Soal ini adalah salah satu contohnya:

Kalau kita melihat bentuk di atas, tidak ada satu pun bagian atas (pembilang) dan bawah (penyebut) yang bisa langsung dioperasikan. Bentuknya benar-benar berbeda.

Lalu, apa langkah pertama yang logis?

Sebelum buru-buru menghitung, kita harus menentukan tujuan. Kunci dari menyederhanakan pecahan rumit adalah mencari atau "menciptakan" bentuk yang persis sama antara pembilang dan penyebut. Tujuannya? Tentu saja agar bisa dicoret!

Karena bagian atas ($\sqrt{3}-\sqrt{2}$) sudah cukup sederhana, kita biarkan saja dulu. Misi kita adalah mengutak-atik bagian bawah ($\sqrt{6}-\sqrt{4}$) secara logis agar memunculkan 'kembaran' dari bagian atas.

Di sinilah kita akan menggunakan kejelian memecah dan memfaktorkan angka di halaman selanjutnya.

Trik Memfaktorkan Akar

Sekarang, mari kita fokus sepenuhnya ke bagian penyebut (bawah): $\sqrt{6} - \sqrt{4}$.

Kamu tentu sudah tahu sifat dasar perkalian bentuk akar, yaitu $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$. Mari kita gunakan aturan ini untuk membongkar angka $6$ dan $4$.

1. Angka $6$ bisa dipecah menjadi $2 \times 3$, sehingga $\sqrt{6} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$.

2. Angka $4$ bisa dipecah menjadi $2 \times 2$, sehingga $\sqrt{4} = \sqrt{2} \times \sqrt{2}$. (Bisa juga ditulis $2$, tapi kita buat jadi akar dua supaya polanya terlihat).

Jika kita tuliskan kembali penyebutnya, bentuknya menjadi seperti ini: $(\sqrt{2} \times \sqrt{3}) - (\sqrt{2} \times \sqrt{2})$

Perhatikan baik-baik! Ada unsur yang sama di kedua suku tersebut, yaitu $\sqrt{2}$.

Sama seperti sifat distributif aljabar biasa ($ab - ac = a(b - c)$), kita bisa 'menarik keluar' $\sqrt{2}$ dari kedua bagian tersebut:

Lihat kan? Secara logis kita baru saja memunculkan bentuk $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ yang persis dengan pembilang kita!

Waktunya Mencoret!

Misi pencarian 'kembaran' kita telah berhasil. Sekarang, mari pasang kembali bagian penyebut yang sudah kita modifikasi ini ke pecahan aslinya.

Bentuk pecahan yang baru adalah:

Coba perhatikan baik-baik. Di atas kita punya sebuah "paket" yang utuh: $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$. Di bawah, kita juga punya "paket" yang persis sama, yaitu $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$ yang sedang dikalikan dengan $\sqrt{2}$.

Karena paket tersebut atas-bawah persis sama, kita bisa langsung mencoret keseluruhan kelompok $(\sqrt{3}-\sqrt{2})$.

Ingat, saat suatu bilangan dicoret dari pembilang bukan berarti ia menjadi $0$, melainkan bersisa $1$. Maka, yang tersisa dari pecahan kita yang awalnya rumit ini hanyalah angka $1$ di atas, dan $\sqrt{2}$ di bawah: