Trik Menyederhanakan Selisih Terbalik

Sifat Cermin Pengurangan

Bentuk selisih $(a-b)$ dan $(b-a)$ secara matematis selalu berlawanan tanda secara mutlak, terlepas dari nilai angkanya. Kamu tidak perlu menebak atau melakukan uji coba angka (trial-and-error) untuk membuktikannya, karena hubungan ini berlaku umum untuk setiap bilangan real.

Secara formal, pembuktian sifat ini didapat dengan memfaktorkan faktor pengali $-1$ menggunakan sifat distributif:

$$a - b = -(-a + b) = -(b - a) = -1 \cdot (b - a)$$

Begitu pula sebaliknya, $(b - a) = -1 \cdot (a - b)$.

Hubungan ini bekerja persis seperti Cermin Tanda: membalik urutan pengurangan hanyalah membalik arah vektor perpindahan tanpa mengubah besar jarak absolutnya. Jika jarak dari Titik awal ke Titik akhir bernilai positif, maka perjalanan sebaliknya pasti menghasilkan nilai negatif dengan panjang yang sama persis.

Paritas Tanda Negatif Berulang

Membalik urutan tiga pasang faktor pengurangan sekaligus berarti mengalikan nilai negatif berulang, bukan menjumlahkannya.

Mari kita terapkan prinsip Cermin Tanda pada pembilang dalam persamaan soal asli:

$$(p-q)(r-s)(t-u)(y) = (q-p)(s-r)(u-t)$$

Perhatikan bahwa setiap faktor di ruas kanan (pembilang jika dipindahkan) adalah pembalikan langsung dari faktor di ruas kiri:

Jika kita lakukan substitusi ketiga bentuk ini ke ruas kanan, ekspresinya berubah menjadi:

$$(q-p)(s-r)(u-t) = \big(-1 \cdot (p-q)\big)\big(-1 \cdot (r-s)\big)\big(-1 \cdot (t-u)\big)$$

Karena perkalian bersifat komutatif dan asosiatif, kelompokkan seluruh faktor konstan di depan:

$$= (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (p-q)(r-s)(t-u)$$

Di sinilah aturan paritas tanda berlaku. Mengalikan bilangan negatif sebanyak jumlah ganjil (tiga buah tanda minus) menghasilkan tanda negatif:

$$(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = (1) \cdot (-1) = -1$$

Sehingga seluruh ruas kanan setara dengan:

$$-1 \cdot (p-q)(r-s)(t-u)$$

Jika diketahui $a \neq b$ dan $c \neq d$, sederhanakan bentuk pecahan aljabar berikut: $$x = \frac{(b-a)(d-c)}{(a-b)(c-d)}$$ Berapakah nilai $x$ yang tepat?

  • Nilai x adalah -1
  • Nilai x adalah 1
  • Nilai x adalah 2
  • Nilai x adalah -2

Jawaban: Nilai x adalah 1

Dengan sifat Cermin Tanda, (b - a) = -1(a - b) dan (d - c) = -1(c - d). Substitusikan ke pembilang: (-1)(a - b)(-1)(c - d) = (-1)(-1)(a - b)(c - d) = 1(a - b)(c - d). Setelah membatalkan faktor yang sama dengan penyebut, diperoleh x = 1. Opsi A keliru karena hanya memfaktorkan satu tanda minus; Opsi C dan D keliru karena menjumlahkan pembalikan alih-alih mengalikannya.

Memfaktorkan tanda negatif dari perkalian dua selisih yang urutannya dibalik.

Aturan Main Pembagian

Syarat urutan tidak dibuat untuk coba-coba angka, melainkan memastikan bahwa tidak ada faktor nol yang merusak validitas pembatalan aljabar.

Pada soal tertulis syarat berantai:

$$p < q < r < s < t < u$$

Mengapa pembuat soal perlu menuliskan syarat ini secara rinci? Dalam aljabar, pembagian dengan bilangan nol tidak terdefinisi. Dari ketidaksamaan tegas $p < q$, kita dapat menyimpulkan secara pasti bahwa:

$$p - q < 0 \implies p - q \neq 0$$

Hal yang sama berlaku untuk $r - s < 0$ dan $t - u < 0$. Syarat ini memberikan jaminan matematis bahwa penyebut tidak akan pernah bernilai nol, sehingga operasi pembatalan faktor (canceling) sah dilakukan.

Sekarang, isolasi variabel $y$ dari persamaan awal:

$$(p-q)(r-s)(t-u)(y) = (q-p)(s-r)(u-t)$$

$$y = \frac{(q-p)(s-r)(u-t)}{(p-q)(r-s)(t-u)}$$

Substitusikan bentuk yang telah difaktorkan menggunakan sifat Cermin Tanda:

$$y = \frac{-1 \cdot (p-q)(r-s)(t-u)}{(p-q)(r-s)(t-u)}$$

Karena semua blok faktor bernilai bukan nol, kita dapat membatalkan faktor yang bersesuaian di pembilang dan penyebut:

$$y = -1 \cdot \frac{\cancel{(p-q)}\cancel{(r-s)}\cancel{(t-u)}}{\cancel{(p-q)}\cancel{(r-s)}\cancel{(t-u)}} = -1$$

Hasil ini mengukuhkan bahwa Opsi A ($y = -1$) adalah jawaban yang tepat.