Membongkar Deret Aritmatika via Aljabar
Barisan vs Deret: Apa Bedanya?
Pernahkah kamu melihat deretan angka yang sepertinya punya pola berulang? Di matematika, kumpulan angka yang punya aturan tertentu disebut barisan. Barisan ini hanya sekadar daftar angka, persis seperti antrean absen di kelas.
Misalnya pada soal, kamu melihat angka 1, 3, 5, 7, 9. Kalau ditulis pakai koma seperti 1, 3, 5, 7, 9, ..., ini adalah barisan. Angka-angka ini cuma berdiri sendiri, berurutan menempati posisinya masing-masing.
Tapi perhatikan baik-baik soal kita! Di soal ditulisnya pakai tanda tambah: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots$ Nah, ketika kita mengubah tanda koma (,) menjadi tanda tambah (+), kita sedang mengubah barisan itu menjadi sebuah deret. Deret adalah instruksi untuk menjumlahkan semua angka di dalam barisan tersebut.
Biar lebih tergambar bedanya, perhatikan ilustrasi berikut:
Manakah di bawah ini yang merupakan sebuah 'deret' (bukan sekadar barisan)?
- A. $2, 4, 6, 8$
- B. 1, 2, 3, 4, 5
- C. $10 + 20 + 30 + 40$
- D. $x, y, z$
Jawaban: C. $10 + 20 + 30 + 40$
Deret ditandai dengan operasi penjumlahan (+) antar sukunya, bukan sekadar tanda koma (,).
Barisan adalah daftar angka dengan koma, sedangkan deret adalah operasi penjumlahan dari angka-angka dalam barisan.
Syarat Mutlak Aritmatika
Sekarang kita tahu kita sedang mengurusi deret. Tapi, soal secara spesifik meminta deret aritmatika. Bagaimana cara kita tahu sebuah deret itu aritmatika atau bukan?
Syarat mutlak dari deret aritmatika adalah harus memiliki beda ($b$) atau selisih antar suku berdekatan yang selalu konstan (sama terus-menerus). Kamu bisa mengeceknya dengan cara mengurangkan suku kedua dengan suku pertama ($U_2 - U_1$), lalu membandingkannya dengan selisih suku ketiga dan kedua ($U_3 - U_2$).
Mari kita tes Opsi C dari soal: $1 + 4 + 9 + 16 + 25 + \dots$
Beda pertama: $4 - 1 = 3$
Beda kedua: $9 - 4 = 5$
Beda ketiga: $16 - 9 = 7$ Karena selisihnya berubah-ubah (3, lalu 5, lalu 7), deret ini BUKAN deret aritmatika.
Bandingkan dengan Opsi B: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \dots$
Beda pertama: $3 - 1 = 2$
Beda kedua: $5 - 3 = 2$
Beda ketiga: $7 - 5 = 2$ Karena selisihnya selalu 2, ini adalah deret aritmatika yang sah!
Centang SEMUA deret yang tergolong sebagai deret aritmatika!
- $5 + 10 + 15 + 20 + \dots$
- $1 + 2 + 4 + 8 + \dots$
- $2 + 5 + 9 + 14 + \dots$
- $10 + 7 + 4 + 1 + \dots$
Jawaban: $5 + 10 + 15 + 20 + \dots$; $10 + 7 + 4 + 1 + \dots$
Pernyataan 1 memiliki beda konstan +5, dan pernyataan 4 memiliki beda konstan -3. Sisanya memiliki beda yang berubah-ubah.
Deret aritmatika memiliki selisih antar suku berurutan yang konstan.
Senjata Utama: Rumus Penjumlahan
Setelah kita tahu pasti Opsi B adalah deret aritmatika, pertanyaannya: bagaimana cara membuktikan bahwa jumlahnya ($1 + 3 + 5 + 7 + \dots$) selalu menghasilkan bilangan kuadrat?
Menjumlahkannya satu per satu secara manual tentu akan menghabiskan waktu, apalagi kalau deretnya panjang tak terhingga. Di sinilah matematika memberikan kita alat aljabar super keren untuk meringkas penjumlahan panjang tersebut. Alat itu adalah rumus jumlah $n$ suku pertama ($S_n$).
Rumus ini sangat ajaib karena kita hanya butuh tiga informasi penting:
$n$: banyaknya suku yang mau dijumlahkan
$a$: suku pertama (angka paling depan)
$b$: beda (selisih tetap yang kita cari di halaman sebelumnya)
Mari kita lihat anatomi dari rumus ajaib ini lewat visual di bawah: