Suku Banyak: Bongkar Koefisien & Akar

Menyusun Bingkai Puzzle (Mencari Koefisien)

Kita bisa memanfaatkan nilai pembuat nol dari setiap faktor untuk menemukan koefisien suku banyak yang belum diketahui.

Dalam analogi menyusun puzzle gambar, koefisien yang belum diketahui—seperti $a$ dan $b$ pada $f(x) = x^3 + ax^2 - 7x + b$—adalah bingkai dari puzzle tersebut. Sebelum kita mencari kepingan-kepingan gambar di dalamnya, bingkainya harus terpasang kokoh terlebih dahulu. Di sinilah Teorema Faktor bekerja: jika suatu suku banyak memiliki faktor $(x - k)$, maka nilai suku banyak saat $x = k$ menghasilkan tepat nol ($f(k) = 0$).

Berdasarkan skema di atas, faktor $(x + 1)$ memberi tahu kita bahwa $x = -1$ membuat $f(-1) = 0$, sedangkan faktor $(x - 3)$ berarti $x = 3$ membuat $f(3) = 0$. Substitusi kedua nilai pembuat nol ini menghasilkan dua persamaan:

1. Untuk $x = -1$: $(-1)^3 + a(-1)^2 - 7(-1) + b = 0 \implies a + b = -6$

2. Untuk $x = 3$: $(3)^3 + a(3)^2 - 7(3) + b = 0 \implies 9a + b = -6$

Dari eliminasi kedua persamaan tersebut, kita peroleh $a = 0$ dan $b = -6$.

Temuan ini langsung membantah Opsi A ($a = -3$), karena nilai $a$ yang tepat adalah $0$. Kesalahan menebak koefisien $a = -3$ kerap terjadi bila kita hanya tergiur melihat angka $-3$ pada faktor $(x - 3)$. Sebaliknya, hasil ini membuktikan bahwa Opsi C ($b = -6$) bernilai benar.

Jalan Pintas Vieta

Teorema Vieta memungkinkan kita menghitung jumlah seluruh akar tanpa perlu mencari tahu nilai tiap akar secara spesifik.

Setelah bingkai puzzle terpasang dengan $a = 0$ dan $b = -6$, fungsi suku banyak kita berbentuk utuh: $f(x) = x^3 + 0x^2 - 7x - 6$. Untuk menjawab pertanyaan mengenai jumlah ketiga akarnya ($x_1 + x_2 + x_3$), kita tidak perlu bersusah payah memfaktorkan fungsi secara manual dari nol. Kita punya jalan pintas bernama Teorema Vieta, yang bekerja persis seperti gambar referensi di kotak puzzle: memberi tahu kita gambaran total seluruh kepingan tanpa harus merakitnya satu per satu.

Pada persamaan suku banyak berderajat tiga $Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$, Teorema Vieta merumuskan jumlah ketiga akarnya sebagai:

$$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{\text{Koefisien } x^2}{\text{Koefisien } x^3} = -\frac{B}{A}$$

Karena suku banyak kita memiliki koefisien $x^2$ sebesar $0$ dan koefisien $x^3$ sebesar $1$, maka jumlah seluruh akarnya adalah $-\frac{0}{1} = 0$.

Hasil ini membuktikan bahwa Opsi B ($x_1 + x_2 + x_3 = 3$) bernilai salah. Pernyataan pada Opsi B memang sengaja dibuat menggoda; jika di awal seseorang salah menghitung nilai $a$ menjadi $-3$, Teorema Vieta akan memberikan $-\frac{-3}{1} = 3$. Mengetahui rumus pintas ini menghemat banyak waktu saat menghadapi berbagai variasi soal suku banyak.

Menemukan Akar Terakhir

Sisa akar yang belum diketahui bisa dengan cepat ditemukan dengan memanfaatkan hasil jumlah akar dari Teorema Vieta.

Kita sudah memegang dua kepingan utama puzzle berkat faktor yang diketahui di awal, yaitu $x = 3$ dan $x = -1$. Karena Teorema Vieta telah membuktikan bahwa jumlah ketiga akar adalah $0$, kita bisa langsung mencari kepingan ketiga (sebutlah $k$) tanpa pembagian suku banyak yang panjang:

$$3 + (-1) + k = 0 \implies 2 + k = 0 \implies k = -2$$

Ketiga akar suku banyak kita sekarang lengkap, yaitu $\{3, -1, -2\}$. Namun, langkah ini belum selesai karena soal memberikan syarat urutan yang sangat ketat: $x_1 > x_2 > x_3$.

Setelah mengurutkan dari bilangan terbesar ke terkecil ($3 > -1 > -2$), identitas tiap akar menjadi pasti: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$, dan $x_3 = -2$. Sekarang kita bisa mengevaluasi dua opsi terakhir dengan aman:

• Opsi D menyatakan nilai $x_1 + x_3 = 1$. Dengan menghitung $3 + (-2) = 1$, pernyataan ini terbukti benar.

• Opsi E menyatakan nilai $x_2 - x_3 = 4$. Perhitungan yang benar adalah $(-1) - (-2) = -1 + 2 = 1$. Maka pernyataan ini salah.

Pernyataan pada Opsi E adalah jebakan klasik. Siswa yang lupa mengurutkan akar atau keliru saat mengurangkan bilangan negatif sering kali salah menempatkan akar ketiga sebagai pengurang sehingga mendapatkan hasil yang melenceng.