Menyingkap Sifat Asli Bilangan

Tragedi Phytagoras

Tidak semua panjang benda di alam semesta bisa diukur pas dengan pecahan pembagian bulat.

Sekitar 2.500 tahun yang lalu, perkumpulan Phytagoras meyakini bahwa seluruh tatanan alam semesta dapat diwakili oleh perbandingan bilangan bulat yang rapi dan teratur. Bagi mereka, setiap panjang garis di dunia nyata pasti bisa diukur pas dengan pembagian skala penggaris tertentu. Namun, keyakinan tersebut runtuh ketika seorang murid bernama Hippasus mencoba menghitung panjang sisi miring (diagonal) dari segitiga siku-siku dengan panjang sisi tegak $1$ dan $1$.

Menggunakan dalil Pythagoras, panjang sisi miring tersebut adalah $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Ketika berusaha mengukurnya, Hippasus menyadari sesuatu yang mengejutkan: seberapapun teliti penggaris kita atau seberapapun kecil kita membagi skalanya, potongannya tidak akan pernah pas di garis ukurnya. Nilai ini tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Penemuan inilah yang melahirkan istilah bilangan irasional—sebuah bilangan yang keberadaannya nyata di alam, tetapi desimalnya tak pernah berujung dan tak berulang.

Rasional = Ratio

Bilangan rasional adalah angka yang bentuk aslinya bisa dikembalikan jadi pecahan dua bilangan bulat.

Kata rasional berakar dari bahasa Latin ratio, yang berarti perbandingan. Sebuah bilangan disebut bilangan rasional jika dan hanya jika ia dapat dituliskan dalam bentuk pecahan $\frac{a}{b}$, dengan syarat mutlak: pembilang $a$ dan penyebut $b$ harus berupa bilangan bulat (bukan akar irasional, bukan $\pi$) serta $b \neq 0$.

Mari amati bilangan nomor 1 pada senarai soal: $2,7182818285$. Sekilas, angka ini menyerupai desimal konstanta Euler ($e$), tetapi perhatikan ujungnya: angka tersebut berhenti di digit ke-$10$ di belakang koma. Angka ini merupakan sebuah desimal berhenti. Semua desimal yang berhenti memiliki jumlah digit berhingga, sehingga selalu dapat dikonversi menjadi pecahan per sepuluh miliar:

$$\frac{27.182.818.285}{10.000.000.000}$$

Karena pembilang dan penyebutnya sama-sama bilangan bulat utuh, maka nomor 1 terbukti sah sebagai bilangan rasional.

Ciri Khas Irasional

Bilangan irasional memiliki nilai desimal yang terus berlanjut tanpa pola berulang.

Berbeda dari desimal berhenti, bilangan seperti konstanta $\pi$ dan bentuk akar murni (seperti $\sqrt{3}$) memiliki ekor desimal yang bergulir tanpa henti dan tidak pernah membentuk siklus pengulangan tetap. Sering kali muncul anggapan keliru bahwa nilai $\pi$ persis bernilai $\frac{22}{7}$ atau $3,14$. Faktanya, $\frac{22}{7}$ dan $3,14$ hanyalah pendekatan manusia agar mudah berhitung; nilai sejati $\pi$ adalah desimal irasional tak berhingga: $3,14159265...$

Sekarang, tinjau bilangan nomor 2 dari soal: $\frac{3}{2}\pi$. Bilangan ini merupakan hasil perkalian antara pecahan rasional $\frac{3}{2}$ dengan bilangan irasional $\pi$. Mengalikan bilangan irasional dengan bilangan rasional bukan nol tidak akan mengubah sifat desimalnya yang acak dan tak hingga. Akibatnya, $\frac{3}{2}\pi$ tetap merupakan bilangan irasional.