Bedah Matematis Permukaan Tenda

Dekomposisi Permukaan 3D

Luas permukaan luar bangun ruang gabungan dicari dengan merinci masing-masing bidang datar penyusunnya secara mandiri.

Menganalisis luas permukaan tenda sama seperti membedah jaring-jaring kardus menjadi bidang datar dua dimensi. Karena tenda dirancang tanpa alas lantai dan tanpa sekat pemisah antara atap dan dinding, lembaran kain penutup tenda hanya tersusun dari tiga pasang bidang luar:

• Sepasang bidang atap: $2$ bidang persegi panjang miring di sisi kiri dan kanan atap.

• Sepasang bidang dinding samping: $2$ bidang persegi panjang tegak yang membentang sepanjang tenda.

• Sepasang bidang fasad: sisi depan dan belakang tenda, di mana masing-masing fasad merupakan gabungan dari $1$ persegi panjang dinding bawah dan $1$ segitiga atap di atasnya.

Sifat Simetri Segitiga Atap

Garis tinggi pada segitiga sama kaki akan membelah alasnya menjadi dua ruas yang persis sama panjang.

Penampang depan atap tenda membentuk segitiga sama kaki dengan lebar alas $8\text{ m}$ dan tinggi puncak $3\text{ m}$. Kita tidak bisa langsung memasukkan alas $8\text{ m}$ dan tinggi $3\text{ m}$ ke dalam Teorema Pythagoras, karena segitiga atap secara utuh bukanlah segitiga siku-siku. Teorema Pythagoras hanya berlaku khusus pada segitiga dengan salah satu sudut $90^\circ$.

Secara geometri analitis, penarikan garis tinggi dari puncak atap tegak lurus ke alas membagi segitiga sama kaki menjadi dua segitiga siku-siku yang kongruen. Akibat sifat kesimetrian ini, sisi alas siku-siku yang terbentuk di sisi kiri maupun kanan tepat berukuran setengah dari alas utuh:

$$\text{Alas penyiku} = \frac{8\text{ m}}{2} = 4\text{ m}$$

Dengan alas penyiku $4\text{ m}$ dan sisi tegak $3\text{ m}$, panjang sisi miring atau garis pelukis ($s$) pada atap dapat dihitung secara presisi menggunakan dalil Pythagoras:

$$s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\text{ m}$$

Integrasi dan Pembuktian Luas

Total luas adalah hasil penjumlahan teliti semua bidang 2D menggunakan dimensi pembentuk yang sudah dicari.

Setelah semua ukuran dimensi bidang penyusun berhasil kita peroleh, mari hitung luas tiap bagian secara bertahap:

1. Luas Kain Atap Miring Bagian atap terdiri dari $2$ bidang persegi panjang dengan panjang $10\text{ m}$ dan lebar berupa garis pelukis $5\text{ m}$:

   $$\text{Luas atap} = 2 \times (10 \times 5) = 100\text{ m}^2$$

2. Luas Kain Dinding Samping Tersusun dari $2$ bidang persegi panjang tegak dengan panjang $10\text{ m}$ dan tinggi balok $2\text{ m}$:

   $$\text{Luas dinding samping} = 2 \times (10 \times 2) = 40\text{ m}^2$$

3. Luas Kain Fasad Depan dan Belakang Tiap fasad adalah gabungan persegi panjang bawah ($8\text{ m} \times 2\text{ m} = 16\text{ m}^2$) dan segitiga atas ($\frac{1}{2} \times 8\text{ m} \times 3\text{ m} = 12\text{ m}^2$). Luas satu fasad utuh adalah $16 + 12 = 28\text{ m}^2$. Karena ada dua fasad (depan dan belakang):

   $$\text{Luas fasad} = 2 \times 28 = 56\text{ m}^2$$

Menjumlahkan seluruh bidang luar menghasilkan total kebutuhan kain sebesar $100 + 40 + 56 = 196\text{ m}^2$, yang membuktikan kebenaran Opsi C.