Menjumlah Kelipatan: Dari Batas Hingga Deret

Membidik Batas Rentang

Suku pertama dan terakhir dalam barisan harus berupa kelipatan yang dicari dan mutlak berada di dalam interval rentang soal. Ketika sebuah soal menyebutkan frasa "di antara $10$ dan $100$", kedua bilangan pembatas tersebut bersifat eksklusif—artinya bilangan $10$ dan $100$ sendiri hanya berfungsi sebagai pagar pembatas wilayah tanah, bukan anggota yang otomatis dijumlahkan.

Bilangan kelipatan $3$ pertama yang bernilai lebih dari $10$ adalah $12$, sehingga kita menetapkan suku pertama $a = 12$. Sementara itu, kelipatan $3$ terbesar yang masih berada di bawah $100$ adalah $99$, yang menjadi suku terakhir ($U_n = 99$). Bilangan seperti $9$ (sebelum $10$) maupun $102$ (sesudah $100$) berada di Luar Rentang, sehingga tidak boleh diikutkan ke dalam perhitungan meskipun keduanya habis dibagi $3$.

Masalah Tiang Pagar

Banyaknya lompatan dalam sebuah barisan aritmatika akan selalu berjumlah satu lebih sedikit dibandingkan total suku yang ada. Bayangkan kamu sedang menancapkan tiang-tiang pagar di sebidang tanah: jika kamu menancapkan $2$ tiang, hanya ada $1$ bentangan jarak antartiang. Jika kamu menancapkan $3$ tiang, bentangan jaraknya ada $2$. Hubungan mendasar ini sering disebut sebagai fencepost problem.

Secara aljabar, setiap loncatan antarsuku bernilai selisih tetap $b = 3$. Untuk bergerak dari suku pertama $a = 12$ menuju suku ke-$n$, yaitu $U_n = 99$, total jarak yang ditempuh adalah:

$$99 - 12 = 87$$

Karena setiap satu lompatan berjarak $3$, banyak lompatan yang terjadi adalah:

$$\frac{99 - 12}{3} = \frac{87}{3} = 29 \text{ lompatan}$$

Formula formal suku ke-$n$, yaitu $U_n = a + (n - 1)b$, secara langsung mencerminkan struktur ini: suku ke-$n$ dicapai dengan memulai dari tiang awal $a$ lalu melompat sebanyak $(n - 1)$ kali. Dengan demikian, jika ada $29$ lompatan di antara tiang-tiang tersebut, maka banyaknya suku atau tiang pagar ($n$) yang berdiri tegak pastilah:

$$n = 29 + 1 = 30$$

Penurunan Deduktif Deret

Total penjumlahan deret aritmatika setara dengan pengali jumlah pasangan ujung-ke-ujung dikalikan dengan setengah jumlah suku. Daripada menjumlahkan ketiga puluh suku satu per satu secara manual, kita dapat memanfaatkan kesimetrisan barisan: jika kita menjumlahkan suku paling kiri dan paling kanan, nilainya akan selalu identik dengan pasangan suku berikutnya ke arah tengah.

Perhatikan barisan kelipatan $3$ kita. Pasangan suku pertama dan suku terakhir menghasilkan:

$$12 + 99 = 111$$

Jika kita mengambil satu langkah ke dalam, suku kedua ($15$) dipasangkan dengan suku kedua dari belakang ($96$) juga menghasilkan total yang sama:

$$15 + 96 = 111$$

Karena ada $n = 30$ suku yang saling berpasangan dua-dua, seluruh barisan terbagi menjadi tepat $\frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15$ pasang bernilai sama. Total deretnya ($S_n$) dirumuskan secara deduktif sebagai:

$$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$$

$$S_{30} = 15 \times 111 = 1665$$

Hasil $1665$ membuktikan kebenaran matematis Opsi B secara kokoh tanpa perlu mengandalkan tebakan kasar.