Membongkar Jebakan Pecahan Aljabar

Membuka Segel Paket

Kita tidak bisa sembarangan mencoret bagian dari suku yang dijumlahkan atau dikurangkan dalam pecahan.

Ilustrasi kardus parsel tertutup rapat yang melambangkan paket suku aljabar yang tidak bisa diambil sebagian isinya.

Bayangkan bentuk penjumlahan atau pengurangan aljabar, seperti $x^2 - y^2$, sebagai sebuah Paket Parsel yang disegel rapat di dalam satu kardus. Garis pecahan artinya kita ingin membagikan isi parsel tersebut secara merata ke pembagi di bawahnya.

Ketika kita memiliki bentuk $\dfrac{-x^2 - y^2}{xy}$, kita tidak bisa begitu saja mengambil satu variabel $x$ dari dalam parsel lalu mencoretnya dengan $x$ di penyebut. Variabel $x^2$ di atas terikat erat dengan suku $-y^2$ dalam satu paket penjumlahan. Mencoret $x$ sepihak ibarat membagikan sebagian isi parsel tapi meninggalkan sebagian lainnya tanpa dibagi, sehingga nilainya menjadi rusak.

Inilah kekeliruan yang memicu Opsi C, yaitu mengubah $\dfrac{-x^2 - y^2}{xy}$ menjadi $\dfrac{-x - y^2}{y}$. Mengeluarkan suatu suku dari paket hanya sah dilakukan jika kita melakukan pemfaktoran, yaitu mengeluarkan unsur yang sama dari seluruh suku ke luar tanda kurung terlebih dahulu.

Bentuk $\dfrac{a^2 - ab}{a}$ dapat disederhanakan menjadi...

  • a^2 - b
  • a - ab
  • a - b
  • 1 - b

Jawaban: a - b

Kita harus memfaktorkan pembilang terlebih dahulu: a^2 - ab = a(a - b). Setelah ada faktor a di luar kurung, faktor tersebut baru bisa dibagi dengan penyebut a, menghasilkan a - b. Mencoret a hanya pada salah satu suku (seperti menghasilkan a^2 - b atau a - ab) adalah pencoretan parsial yang keliru.

Hanya faktor persekutuan yang dapat disederhanakan dalam pecahan aljabar, bukan suku parsial.

Cermin yang Berkebalikan

Bentuk $(a-b)$ dibagi $(b-a)$ selalu bernilai $-1$, bukan $0$ atau $1$.

Terkadang kita menemukan dua bentuk pengurangan yang variabelnya sama persis namun posisinya saling berkebalikan, persis seperti suku pertama pada soal: $(x-y)$ dan $(y-x)$.

Mari kita uji dengan angka sederhana. Misalkan $a = 5$ dan $b = 3$. Pengurangan $5 - 3 = 2$, sedangkan kebalikannya $3 - 5 = -2$. Hasil bagi keduanya adalah $\dfrac{2}{-2} = -1$. Pola ini berlaku untuk sembarang nilai selama kedua angka tidak sama. Secara aljabar, $(y-x)$ dapat kita faktorkan keluar tanda minusnya menjadi $-(x-y)$. Akibatnya:

$$\dfrac{x-y}{y-x} = \dfrac{x-y}{-(x-y)} = -1$$

Bentuk ini tidak saling meniadakan menjadi $0$. Pada suku pertama soal:

$$\dfrac{xy-y^2}{xy-x^2} = \dfrac{y(x-y)}{x(y-x)} = \dfrac{y}{x} \cdot (-1) = -\dfrac{y}{x}$$

Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan berikut!

  • Hasil dari $(p - q)$ dibagi $(q - p)$ adalah $1$. — Salah
  • Jika $\dfrac{m - n}{n - m}$ bernilai nol, berarti $m = n$. — Salah

Pernyataan 1 Salah karena (p - q) / (q - p) = -1, bukan 1 (keduanya berlawanan tanda). Pernyataan 2 Salah karena jika m = n, bentuknya menjadi 0/0 yang tidak terdefinisi (bukan 0), sedangkan untuk nilai m dan n yang berbeda, hasilnya selalu -1.

Memahami bahwa pembagian ekspresi pengurangan yang posisinya ditukar bernilai negatif satu.

Efek Tanda Minus di Luar Kurung

Tanda minus di luar tanda kurung pecahan berlaku untuk seluruh suku di pembilang, bukan hanya suku pertama.

Garis pecahan berfungsi layaknya tanda kurung pelindung bagi seluruh pembilang. Ketika ada tanda minus di depan pecahan, misalnya $-\dfrac{x^2 - y^2}{xy}$, tanda negatif tersebut ibarat instruksi untuk membalik status seluruh isi paket parsel.

Kita wajib melakukan distribusi tanda, yaitu mengalikan tanda minus ke setiap suku aljabar di dalam pembilang:

$$-(x^2 - y^2) = -x^2 - (-y^2) = -x^2 + y^2$$

Jika kita lupa mendistribusikan minus ke suku kedua, kita akan keliru menuliskan $-x^2 - y^2$. Kesalahan tanda seperti ini kerap menjebak dalam perhitungan aljabar bertingkat dan mengarahkan kita pada hasil yang salah.

Bentuk $-(2a - 3b + c)$ setara dengan...

  • -2a - 3b + c
  • -2a + 3b - c
  • -2a - 3b - c
  • -2a + 3b + c

Jawaban: -2a + 3b - c

Tanda negatif di luar tanda kurung harus didistribusikan (dikalikan) ke setiap suku di dalam kurung: -(2a) = -2a, -(-3b) = +3b, dan -(+c) = -c. Hasil lengkapnya adalah -2a + 3b - c. Pengecoh lain muncul akibat lupa mengalikan tanda minus ke suku kedua atau ketiga.

Ketepatan mendistribusikan tanda negatif ke setiap suku dalam kurung.