Membongkar Rahasia Eksponen Lewat Bakteri
Bakteri yang Hobi Mengganda
Bayangkan kamu sedang mengamati sekelompok bakteri. Di dunia bakteri, mereka punya trik ajaib buat bertambah banyak: membelah diri (atau binary fission).
Gambar: User:ZabMilenko, CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons
Katakanlah pada awalnya kamu punya modal 10 bakteri. Kalau setiap bakteri membelah jadi dua, totalnya akan menjadi 20. Lalu di tahap berikutnya, 20 bakteri itu masing-masing pecah lagi jadi dua, totalnya membludak jadi 40.
Pola pertumbuhan ini bukan sekadar penjumlahan biasa, melainkan perkalian berulang dengan angka 2 (dikali 2, dikali 2 lagi, dan seterusnya). Di dalam matematika, rentetan perkalian berulang yang capek kalau ditulis panjang-panjang ini diringkas menggunakan simbol pangkat atau eksponen.
Jadi, kalau bakteri membelah sebanyak 3 kali, itu sama aja dengan modal awal dikali 2 sebanyak 3 kali, atau secara ringkas ditulis $10 \times 2^3$. Makin sering mereka membelah, makin tinggi pangkat eksponennya!
Kalau kamu punya 5 bakteri dan mereka membelah diri (dikali 2) setiap jamnya, bentuk matematika untuk jumlah bakteri setelah 4 jam berlalu adalah...
- A. 5 + (2 × 4)
- B. 5 × 2 × 4
- C. 5 × 2^4
- D. 5^4 × 2
Jawaban: C. 5 × 2^4
Karena membelah diri jadi 2 terjadi selama 4 kali (4 jam), maka itu adalah perkalian 2 yang diulang 4 kali (2^4). Lalu dikalikan modal awalnya yaitu 5.
Pembelahan berkali-kali adalah perkalian berulang yang disimbolkan dengan pangkat (eksponen).
Ada Berapa Kali Pembelahan?
Sekarang kita udah tau kalau pertumbuhan bakteri itu soal "berapa kali dikali 2". Pertanyaan terpentingnya: di soal tadi, sebenarnya bakteri udah membelah berapa kali?
Bakteri di soal ini membelah setiap 15 menit sekali. Tapi, total waktu pengamatan yang diberikan adalah $1{,}5$ jam. Ingat, bakteri ngga bawa jam tangan; mereka cuma peduli sama siklus 15 menitan yang udah berhasil mereka lewatin.
Langkah pertama, ubah total waktu jadi menit:
Lalu, kita cari tahu ada berapa siklus 15 menitan di dalam 90 menit itu:
Tinggal kita bagi saja: $90 \div 15 = 6$. Artinya, selama waktu pengamatan tersebut, bakteri udah berhasil menyelesaikan 6 kali siklus pembelahan. Penggandaan "dikali 2" terjadi sebanyak 6 kali berturut-turut!
Tentukan benar atau salah pernyataan terkait konsep siklus pembelahan berikut!
- Jika bakteri membelah setiap 20 menit, maka dalam 1 jam bakteri berhasil membelah sebanyak 3 kali. — Benar
- Bakteri yang membelah 4 kali artinya umurnya sudah berlalu selama 4 jam. — Salah
1 jam = 60 menit, jadi 60/20 = 3 kali pembelahan (Pernyataan 1 Benar). Pembelahan 4 kali tidak otomatis berarti 4 jam, semua bergantung pada durasi interval tiap siklusnya (Pernyataan 2 Salah).
Jumlah siklus (n) dicari dengan membagi total waktu dengan durasi satu interval, bukan sekadar melihat jam utuhnya.
Menyusun Matematikanya
Oke, sekarang kita udah ngumpulin semua informasi pentingnya. Saatnya merangkum kejadian biologi ini ke dalam satu kalimat matematika yang rapi.
Prinsip dasar dari model matematika pertumbuhan eksponensial itu sederhana banget: Jumlah Akhir = Modal Awal $\times$ Mesin Pengganda
Modal awal kita di awal cerita tadi adalah 10 bakteri.
Mesin pengganda kita adalah "dikali 2 secara berulang sebanyak 6 kali", yang ditulis secara matematis sebagai $2^6$.
Kalau kita gabungin kedua bagian tersebut, maka jumlah total bakteri setelah $1{,}5$ jam adalah $10 \times 2^6$.
Nah loh, tapi tunggu dulu! Kalau kamu cek lagi pertanyaannya, bentuk $10 \times 2^6$ ini ngga ada di pilihan jawaban (opsi yang ada adalah variasi $5 \times 2^{...}$ dan $10 \times 2^{...}$). Apakah kita salah hitung? Ngga kok! Kita cuma butuh satu trik sulap terakhir.