Mendedah Anatomi Fungsi Komposisi

Kenapa Harus Linear?

Waktu baca soal, kamu jujur bilang kalau asal tebak aja fungsi $h(x)$ itu bentuknya linear ($px+q$). Gak apa-apa, instingmu udah bener! Tapi, dari mana sebenarnya kita bisa pastiin kalau $h(x)$ itu pasti garis lurus (linear)?

Kuncinya ada di aturan penjumlahan polinomial (suku banyak). Di soal diketahui:

  1. $g(x)$ adalah garis lurus. Artinya, derajat tertingginya 1: $g(x) = ax + b$.

  2. Hasil dari $g(x) + h(x) = 3x + 5$, yang mana ini juga berderajat 1 (linear).

Bayangkan kalau $h(x)$ itu fungsi kuadrat (derajat 2, misal $x^2$). Waktu ditambahin sama $g(x)$ yang cuma berderajat 1, bentuk $x^2$-nya gak bakal ada yang ngilangin, kan? Hasilnya pasti bakal tetep berderajat 2.

Karena hasil akhirnya $3x+5$ (berderajat 1), satu-satunya kemungkinan logis adalah $h(x)$ maksimal juga berderajat 1 (linear). Makanya kita bisa memisalkan $h(x) = px + q$.

Jika g(x) adalah fungsi linear berderajat 1, alasan utama mengapa h(x) PASTI maksimal berderajat 1 pada persamaan g(x) + h(x) = 3x + 5 adalah...

  • A. Karena h(x) dikomposisikan dengan g(x)
  • B. Karena hasil penjumlahan g(x) + h(x) berderajat 1, sehingga h(x) tidak mungkin memiliki derajat lebih dari 1
  • C. Karena setiap fungsi dalam matematika selalu linear jika tidak disebutkan pangkatnya
  • D. Karena g(x) memiliki koefisien x yang positif

Jawaban: B. Karena hasil penjumlahan g(x) + h(x) berderajat 1, sehingga h(x) tidak mungkin memiliki derajat lebih dari 1

Jika h(x) berderajat lebih dari 1 (misal x^2), hasil penjumlahannya dengan g(x) yang linear pasti akan berderajat 2 atau lebih. Karena hasilnya 3x+5 (derajat 1), h(x) harus maksimal derajat 1.

Derajat hasil penjumlahan polinomial mengikuti derajat tertinggi dari fungsi pembentuknya jika koefisiennya tidak saling menghilangkan.

Merakit Persamaan dari Komposisi

Sekarang kita udah yakin kalau $g(x) = ax + b$ dan $h(x) = px + q$. Kamu juga udah paham banget arti operasi komposisi $(h \circ g)(x)$, yaitu "memasukkan seluruh fungsi $g(x)$ ke dalam variabel $x$ pada fungsi $h(x)$". Pemahaman ini udah mantap dan jadi modal kuat!

Nah, komposisi dan penjumlahan di soal ini bukan sekadar hitung-hitungan biasa, tapi sebuah instruksi untuk membangun fungsi baru. Mari kita rakit satu per satu.

Rakitan 1: Penjumlahan $g(x) + h(x) = (ax + b) + (px + q)$ Kelompokkan yang punya $x$ (suku sejenis) dan yang cuma angka (konstanta): $(a + p)x + (b + q) = 3x + 5$

Rakitan 2: Komposisi $h(g(x)) = p(ax + b) + q$ Kalikan masuk $p$-nya: $(pa)x + (pb + q) = -(4x + 7)$ $(pa)x + (pb + q) = -4x - 7$

Dari sini, kita udah dapet dua bentuk aljabar murni yang siap "ditandingkan" sama angka-angka di soal. Gimana caranya? Kita bahas di halaman berikutnya.

Seni Menyamakan Suku (Identitas)

Di matematika, ada prinsip bernama Kesamaan Polinomial (Identitas). Intinya simpel: kalau dua fungsi itu dibilang identik (sama persis) untuk setiap nilai $x$, maka koefisien yang nempel di $x$ pasti sama, dan angka yang berdiri sendiri (konstanta) juga pasti sama.

Prinsip ini mengubah fungsi abstrak jadi sistem persamaan yang bisa dihitung. Kita tinggal main cocok-cocokan:

Dari penjumlahan $(a + p)x + (b + q) = 3x + 5$:

  1. Koefisien $x$: $a + p = 3$

  2. Konstanta: $b + q = 5$

Dari komposisi $(pa)x + (pb + q) = -4x - 7$: 3. Koefisien $x$: $pa = -4$ 4. Konstanta: $pb + q = -7$

Jika diketahui persamaan mx + (n + 5) identik dengan 2x + 1, maka berapakah nilai m dan n berdasarkan prinsip kesamaan polinomial?

  • A. m = 2 dan n = 1
  • B. m = 5 dan n = -4
  • C. m = 2 dan n = -4
  • D. m = -4 dan n = 2

Jawaban: C. m = 2 dan n = -4

Koefisien x harus sama: m = 2. Konstanta harus sama: n + 5 = 1, sehingga n = 1 - 5 = -4.

Dua polinomial dikatakan identik jika koefisien dari suku-suku yang sejenis bernilai sama.