Logika di Balik Rasional vs Irasional
Karakter Dua Dunia Bilangan
Sebelum kita menjumlahkan atau mengalikan mereka, kita harus kenal dulu dengan dua "dunia" yang sangat berbeda ini.
Dunia pertama adalah bilangan rasional. Sesuai namanya ("rasio"), bilangan ini sangat rapi dan berpola. Ciri utamanya: mereka bisa diubah menjadi pecahan bulat $\frac{a}{b}$ (dengan $b \neq 0$). Contohnya $2$, $0.5$, atau $\frac{1}{3}$. Kalau diibaratkan, bilangan rasional itu seperti balok Lego yang ukurannya jelas dan pas saat disusun.
Di sisi lain, ada dunia bilangan irasional. Angka-angka ini "berantakan". Desimalnya memanjang sampai tak terhingga tanpa ada pola pengulangan. Contoh paling terkenal adalah $\pi$ (Pi) atau bentuk akar yang hasilnya tidak bulat seperti $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, dan $\sqrt{8}$.
Pertanyaan inti dari soal tadi adalah: apa yang terjadi jika bilangan dari dua dunia ini bertemu? Apakah kepastian "selalu irasional" atau "selalu rasional" itu nyata?
Mematahkan Klaim "Selalu"
Mari kita bedah Pernyataan II dari soal: "Perkalian antara dua bilangan irasional yang berbeda selalu menghasilkan bilangan irasional."
Daripada menebak pakai intuisi, mari kita uji dengan contoh konkret. Coba ambil dua bilangan irasional yang berbeda, misalnya $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{8}$. Keduanya jelas irasional karena desimalnya tak berujung.
Tapi apa yang terjadi kalau kita kalikan? $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16}$
Hasil dari $\sqrt{16}$ adalah $4$, dan $4$ adalah bilangan bulat (rasional). Karena kita berhasil menemukan satu kasus di mana hasilnya rasional, maka klaim bahwa perkalian dua irasional itu "selalu irasional" langsung gugur atau SALAH.
Cara paling ampuh untuk mematahkan pernyataan 'Hasil operasi ini SELALU bilangan X' adalah...
- A. Mencari contoh yang sesuai dengan klaim.
- B. Membuktikan secara aljabar untuk semua angka.
- C. Mencari satu kasus saja yang melanggar klaim.
- D. Menggunakan bilangan dari jenis yang sama.
Jawaban: C. Mencari satu kasus saja yang melanggar klaim.
Satu counterexample sudah cukup meruntuhkan klaim 'selalu'.
Mencari satu contoh penyangkal (counterexample) sudah cukup untuk membuktikan bahwa pernyataan universal ('selalu') adalah salah.
Senjata Rahasia: Bukti Kontradiksi
Kalau membuktikan klaim itu salah cukup pakai satu contoh penyangkal, bagaimana cara membuktikan klaim itu BENAR (seperti Pernyataan I dan III)? Kita tidak mungkin menguji semua angka satu per satu karena jumlah angka itu tak terhingga!
Di sinilah matematikawan memakai senjata rahasia bernama Bukti Kontradiksi (Proof by Contradiction).
Di matematika, kita pakai logika yang sama:
Kita asumsikan hasil operasinya berkebalikan dengan klaim soal.
Kita utak-atik pakai aturan aljabar.
Begitu muncul hasil yang mustahil (kontradiksi), itu artinya asumsi kita keliru. Klaim awal di soal justru yang benar!