Sudut Lingkaran dan Arah Sorotannya
Makna Menghadap Busur
Sudut dalam lingkaran dikatakan 'menghadap' sebuah busur jika kedua kaki sudut tersebut membuka dan memotong ujung-ujung busur tersebut.
Bayangkan sebuah sorotan lampu panggung: titik sudut adalah posisi lampu, kedua kaki sudut adalah batas berkas cahaya, dan area melengkung pada keliling lingkaran yang tersorot cahaya adalah busur yang dihadapinya.
Busur minor: busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.
Busur mayor: busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran.
Pada lingkaran, sudut keliling memiliki titik sudut di tepi lingkaran, sedangkan sudut pusat memiliki titik sudut tepat di titik $O$ (pusat lingkaran). Masing-masing memiliki arah sorotannya sendiri. Pada soal awal, $\angle PQR = 112^\circ$ adalah sudut tumpul di keliling lingkaran yang menyorot ke arah busur mayor $PR$ (bagian bawah lingkaran), sedangkan sudut pusat $\angle POR$ yang ditanyakan menyorot ke busur minor $PR$ (bagian atas lingkaran). Karena arah sorotan keduanya berbeda, kita tidak bisa langsung mengalikan atau menyamakan nilainya begitu saja.
Sebuah sudut keliling ABC terbentuk pada lingkaran. Titik A dan C membagi lingkaran menjadi busur kecil AC dan busur besar AC. Jika besar sudut ABC lancip (< 90°), busur manakah yang dihadapi oleh sudut tersebut?
- Busur kecil AC karena sudut lancip membuka ke arah bagian busur yang kurang dari setengah lingkaran.
- Busur besar AC karena sudut lancip otomatis membelakangi dan menyorot bagian keliling yang paling luas.
- Keseluruhan lingkaran karena kedua kaki sudut membagi lingkaran tanpa memotong busur spesifik.
- Jari-jari lingkaran karena sudut keliling selalu dihubungkan langsung ke titik pusat lingkaran.
Jawaban: Busur kecil AC karena sudut lancip membuka ke arah bagian busur yang kurang dari setengah lingkaran.
Sudut keliling yang lancip (< 90°) memotong keliling lingkaran pada bagian busur minor (busur kecil AC) yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran. Sudut tidak menyorot busur besar (opsi B), keseluruhan keliling (opsi C), ataupun garis lurus seperti jari-jari (opsi D).
Sudut menghadap busur ditentukan oleh area lingkaran di antara kedua garis yang membentuk sudut.
Asal Usul Rumus 2x
Besar sudut pusat selalu dua kali besar sudut keliling, asalkan keduanya menghadap busur yang persis sama.
Mengapa rumus ini berlaku? Kita bisa membuktikannya secara matematis melalui konstruksi garis bantu diameter:
Tarik garis lurus dari titik sudut keliling $S$ melewati pusat lingkaran $O$. Garis ini membagi $\angle PSR$ menjadi dua bagian, sebut saja $a$ dan $b$.
Perhatikan segitiga $SPO$. Ruas garis $SO$ dan $PO$ keduanya adalah jari-jari lingkaran, sehingga segitiga $SPO$ adalah segitiga sama kaki. Karena panjang kedua kakinya sama, besar kedua sudut alasnya juga sama, yaitu $a$.
Berdasarkan sifat sudut luar segitiga, sudut luar di titik $O$ sama dengan jumlah dua sudut dalam di hadapannya, yaitu $a + a = 2a$.
Dengan cara yang persis sama pada segitiga sama kaki $SRO$, sudut luar di titik $O$ bernilai $b + b = 2b$.
Ketika digabungkan, besar sudut keliling adalah $a + b$, sedangkan besar sudut pusat adalah $2a + 2b = 2(a + b)$. Terbukti bahwa sudut di pusat lingkaran berukuran tepat dua kali lipat dari sudut di keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama.
Segi Empat Tali Busur
Empat titik pada keliling lingkaran membentuk segi empat tali busur, di mana sudut-sudut yang saling berhadapan totalnya 180 derajat.
Kembali ke soal: kita memiliki sudut keliling $\angle PQR = 112^\circ$. Seperti analogi sorotan lampu panggung, $\angle PQR$ membuka dan menyorot ke busur mayor $PR$ di bawahnya. Namun, sudut pusat $\angle POR$ yang ditanyakan menyorot ke arah sebaliknya, yaitu busur minor $PR$. Karena area busur yang disorot berbeda, rumus dua kali lipat tidak bisa langsung dipakai antara $\angle PQR$ dan $\angle POR$.
Di sinilah kita membutuhkan jembatan penalaran: buat sebuah titik bantu $S$ pada busur mayor $PR$. Keempat titik $P$, $Q$, $R$, dan $S$ kini seluruhnya terletak pada keliling lingkaran, membentuk sebuah segi empat tali busur $PQRS$.
Sifat dasar dari segi empat tali busur menyatakan bahwa pasangan sudut yang saling berhadapan selalu berjumlah $180^\circ$:
$$\angle PQR + \angle PSR = 180^\circ$$
Karena $\angle PQR = 112^\circ$, besar sudut keliling $\angle PSR$ di seberangnya dapat langsung dihitung sebagai sudut pelurus tali busur. Titik $S$ inilah yang akan menjadi kunci penyambung untuk mencari sudut pusat.
Sebuah segi empat KLMN memiliki keempat titik sudut yang terletak pada keliling lingkaran. Jika besar sudut KLM adalah 100 derajat, berapakah besar sudut KNM yang berada persis di seberangnya?
- 100 derajat karena sudut yang berhadapan pada segi empat di dalam lingkaran selalu kongruen.
- 80 derajat karena jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180 derajat.
- 200 derajat karena sudut di seberangnya memiliki ukuran dua kali lipat dari sudut awal.
- 90 derajat karena dua sudut yang berhadapan selalu membentuk sudut siku-siku satu sama lain.
Jawaban: 80 derajat karena jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180 derajat.
Pada segi empat tali busur, pasangan sudut yang saling berhadapan selalu berjumlah 180 derajat. Karena sudut KLM = 100 derajat, maka sudut KNM di seberangnya bernilai 180 derajat - 100 derajat = 80 derajat. Sudut berhadapan tidak sama besar (opsi A), bukan dikali dua (opsi C), dan tidak harus siku-siku (opsi D).
Sifat sudut berhadapan pada segi empat tali busur berjumlah 180 derajat.