Faktorisasi Eksponen & Sifat Pembagian

Miskonsepsi Pengurangan Eksponen

Pengurangan bilangan berpangkat dengan basis sama tidak sama dengan pengurangan pangkatnya. Rumus pengurangan pangkat, yaitu $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$, berlaku untuk operasi pembagian, bukan pengurangan.

Ketika melihat tanda kurang di antara dua bilangan berpangkat, kita tidak bisa langsung mengurangi pangkat-pangkatnya begitu saja.

Perbandingan antara pengurangan nilai aktual dengan pengurangan pangkat eksponen

Mari kita buktikan dengan angka sederhana tanpa variabel:

Nilai aktual: Hitung $2^3 - 2^2$. Nilai dari $2^3 = 8$ dan $2^2 = 4$. Jadi, $8 - 4 = 4$.
Pengurangan pangkat (keliru): Jika kita mengurangkan pangkatnya, bentuknya menjadi $2^{3-2} = 2^1 = 2$.

Hasil perhitungannya berbeda ($4 \neq 2$). Kesalahan seperti ini yang sering menjebak siswa mengira bahwa $5^{n+2} - 5^n$ menjadi $5^{n+2-n} = 5^2 = 25$. Kebingungan saat mencari bilangan pembagi dari $25$ akhirnya membuat sebagian siswa menebak Opsi D ($10$).

Oleh karena itu, Opsi D salah karena pengurangan pangkat tidak boleh diterapkan pada operasi pengurangan aljabar.

Manakah dari operasi berikut yang hasilnya setara dengan $3^{5-2}$?

$\frac{3^5}{3^2}$
$3^5 - 3^2$
$3^5 \cdot 3^2$
$(3^5)^2$

Jawaban: $\frac{3^5}{3^2}$

Sifat pengurangan pangkat $a^{m-n}$ berasal dari operasi pembagian basis yang sama, yaitu $\frac{a^m}{a^n}$. Oleh karena itu, $3^{5-2} = \frac{3^5}{3^2}$. Pengurangan bilangan berpangkat $3^5 - 3^2$ tidak sama dengan mengurangi pangkatnya.

Membedakan operasi yang mengizinkan pengurangan pangkat

Memecah Pangkat Penjumlahan

Pangkat yang berupa penjumlahan dapat dipecah menjadi perkalian dua bilangan berpangkat dengan basis yang sama. Ingat kembali sifat dasar perkalian eksponen:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Sifat ini berlaku dua arah. Artinya, jika kita menemukan bentuk penjumlahan di bagian pangkat, kita bisa memecahnya kembali menjadi perkalian dua bilangan berpangkat dengan basis yang identik:

$$5^{n+2} = 5^n \cdot 5^2$$

Bayangkan pemisahan barang: bentuk $5^{n+2}$ diibaratkan tumpukan kotak utama ($5^n$) yang dikalikan dengan ekstra kotak ($5^2 = 25$).

Dengan memecah pangkatnya terlebih dahulu, kita tidak perlu memaksakan operasi pengurangan pangkat yang keliru. Suku $5^{n+2}$ kini siap disusun berdampingan dengan suku berikutnya dalam bentuk perkalian yang rapi.

Bentuk $7^{k+3}$ dapat ditulis ulang sebagai perkalian...

$7^k + 7^3$
$7^k \cdot 7^3$
$7^{k \cdot 3}$
$7^k \cdot 3$

Jawaban: $7^k \cdot 7^3$

Berdasarkan sifat perkalian eksponen ber-basis sama $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$, pangkat penjumlahan $7^{k+3}$ dapat ditulis ulang menjadi perkalian dua faktor berpangkat yaitu $7^k \cdot 7^3$. Pangkat bertambah saat basisnya dikalikan, bukan saat basisnya dijumlahkan.

Memecah pangkat penjumlahan menjadi perkalian basis sama

Faktorisasi: Menarik Keluar Faktor Sama

Jika dua suku aljabar memiliki faktor yang sama, faktor tersebut dapat ditarik ke luar kurung melalui faktorisasi distributif. Sifat distributif aljabar menyatakan bahwa:

$$a \cdot x - b \cdot x = x(a - b)$$

Sekarang, mari kita terapkan pada ekspresi matematika dari soal:

$$5^{n+2} - 5^n = (5^n \cdot 5^2) - (5^n \cdot 1)$$

Perhatikan bahwa kedua suku sama-sama memiliki faktor pengali $5^n$. Di sini, $5^n$ berperan sebagai variabel bersama yang bisa kita keluarkan dari tanda kurung.

Diagram alir bertahap proses faktorisasi distributif pada bentuk eksponen

Langkah aljabar terperinci:

Tulis suku pengali secara lengkap: $(5^n \cdot 25) - (5^n \cdot 1)$.
Tarik keluar $5^n$ sebagai faktor bersama: $5^n(25 - 1)$.
Operasi di dalam kurung kini berupa bilangan bulat biasa yang dapat langsung dikurangkan: $25 - 1 = 24$.

Dengan analogi pemisahan barang, kita mengeluarkan tumpukan yang sama ($5^n$) dari kedua kelompok barang, lalu menyisakan selisih koefisiennya di dalam kurung.

Jika bentuk $2^m \cdot 10 - 2^m \cdot 3$ difaktorkan dengan menarik faktor bersamanya, hasilnya adalah...

$2^m(10 - 2^m \cdot 3)$
$2^m(7) - 3$
$2^m(10 - 3)$
$(2^m - 2^m)(10 - 3)$

Jawaban: $2^m(10 - 3)$

Kedua suku $2^m \cdot 10$ dan $2^m \cdot 3$ memiliki faktor bersama yaitu $2^m$. Menggunakan sifat distributif aljabar terbalik $ax - bx = x(a - b)$, kita menarik $2^m$ ke luar tanda kurung sehingga menjadi $2^m(10 - 3)$. Suku kedua tidak boleh menyisakan $2^m$ lagi di dalam kurung.

Melakukan faktorisasi distributif pada bentuk eksponen