Teorema Sisa Polinomial: Menata Fungsi
Dari Permen ke Sisa
Algoritma pembagian angka sehari-hari memiliki struktur yang sama persis dengan pembagian fungsi polinomial.
Bayangkan kamu memiliki $17$ butir permen yang ingin dimasukkan ke dalam beberapa kotak, di mana setiap kotak memiliki kapasitas $5$ permen. Kamu akan memperoleh $3$ kotak penuh, dan tersisa $2$ butir permen di luar kotak karena jumlahnya tidak cukup lagi untuk mengisi satu kotak utuh. Secara matematis, pembagian ini dituliskan sebagai:
$$17 = (5 \times 3) + 2$$
Komponen pembagian tersebut memiliki pola baku:
$$\text{Angka Asal} = (\text{Pembagi} \times \text{Hasil Bagi}) + \text{Sisa}$$
Perhatikan satu aturan penting: sisa selalu lebih "kecil" dari pembaginya. Pada angka, sisa pembagian ($2$) nilainya lebih kecil dari pembagi ($5$). Pada polinomial, ukuran "kecil" diukur dari derajat pangkatnya: derajat polinomial sisa $S(x)$ selalu lebih rendah daripada derajat polinomial pembagi $P(x)$.
Mengenal Teorema Sisa
Mensubstitusikan akar dari pembagi ke dalam fungsi akan langsung menghasilkan nilai sisa pembagian tersebut tanpa perlu melakukan pembagian bersusun.
Mari kita perhatikan kembali struktur algoritma pembagian saat suku banyak $k(x)$ dibagi oleh $(x - 1)$:
$$k(x) = (x - 1) \cdot H(x) + \text{Sisa}$$
Bagian $H(x)$ sering kali berbentuk fungsi panjang yang rumit dan tidak kita ketahui. Namun, apa yang terjadi jika kita memilih nilai $x = 1$?
Substitusi nilai $x = 1$ membuat faktor $(1 - 1)$ bernilai $0$. Karena bilangan apa pun jika dikalikan dengan $0$ hasilnya adalah $0$, maka seluruh suku $(x - 1) \cdot H(x)$ otomatis lenyap:
$$k(1) = 0 \cdot H(1) + \text{Sisa} \implies k(1) = \text{Sisa}$$
Pada soal, fungsi baru dibentuk dari perkalian dua fungsi: $k(x) = p(x) \cdot q(x)$. Karena $p(1) = 3$ dan $q(1) = 2$, kita dapat langsung menentukan sisa pembagian $k(x)$ oleh $(x - 1)$:
$$k(1) = p(1) \cdot q(1) = 3 \cdot 2 = 6$$
Dengan cara yang sama, untuk pembagi $(x - 4)$ dengan nilai $p(4) = 6$ dan $q(4) = -1$, nilai fungsi di titik $x = 4$ adalah:
$$k(4) = p(4) \cdot q(4) = 6 \cdot (-1) = -6$$
Pembagi Kuadratik
Jika polinomial dibagi dengan fungsi berderajat dua, sisa pembagiannya memiliki bentuk maksimal berderajat satu (sisa linear).
Ingat kembali aturan derajat pembagian: derajat sisa selalu paling tinggi satu tingkat di bawah derajat pembaginya.
Pembagi berderajat $1$ (misal $x - 1$): sisanya berderajat $0$ (konstanta angka bulat biasa).
Pembagi berderajat $2$ (fungsi kuadrat): sisanya berderajat paling tinggi $1$, yang memiliki bentuk umum garis linear $S(x) = ax + b$.
Pada soal, pembagi untuk $k(x)$ adalah bentuk kuadrat $x^2 - 5x + 4$. Bentuk ini dapat difaktorkan menjadi perkalian dua suku linear:
$$x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$$
Akar pembuat nol dari pembagi ini adalah $x = 1$ dan $x = 4$. Struktur pembagian lengkapnya dapat kita tuliskan sebagai:
$$k(x) = (x - 1)(x - 4) \cdot H(x) + (ax + b)$$
Suatu fungsi polinomial $M(x)$ dibagi oleh fungsi berderajat $3$ (misalnya $x^3 - x$). Bagaimanakah bentuk umum maksimal dari sisa pembagian tersebut?
- Derajat 3 (misalnya $ax^3 + bx^2 + cx + d$)
- Derajat 2 (misalnya $ax^2 + bx + c$)
- Derajat 1 (misalnya $ax + b$)
- Angka konstan tunggal (misalnya $C$)
Jawaban: Derajat 2 (misalnya $ax^2 + bx + c$)
Sisa pembagian polinomial selalu memiliki derajat paling tinggi satu tingkat lebih kecil dari pembaginya ($deg(S) < deg(P)$). Karena pembagi berderajat 3, sisa maksimalnya adalah berderajat 2 ($ax^2 + bx + c$). Jika sisa masih berderajat 3 atau lebih, proses pembagian masih dapat dilanjutkan.
Hubungan derajat sisa pembagian terhadap derajat polinomial pembagi.