Mengeksekusi Operasi Tabel Biner

Menemukan Pertemuan Baris dan Kolom

Dalam tabel operasi biner, nilai pertama selalu dicari pada header baris mendatar, dan nilai kedua pada header kolom menurun.

Konvensi baku matematika menetapkan bahwa untuk setiap operasi $a \# b$, komponen pertama '$a$' menentukan posisi baris (di sebelah kiri), sedangkan komponen kedua '$b$' menentukan posisi kolom (di bagian atas). Menukar urutan ini akan berakibat fatal jika hasil operasinya tidak simetris.

Sebagai contoh, mari kita tentukan nilai $1 \# (-1)$ menggunakan tabel $\#$ dari soal:

  1. Cari angka $1$ pada kolom header paling kiri (menentukan baris).

  2. Cari angka $-1$ pada baris header paling atas (menentukan kolom).

  3. Tarik garis mendatar dari baris $1$ dan garis menurun dari kolom $-1$.

  4. Titik temu kedua garis berada tepat di angka $-1$. Jadi, $1 \# (-1) = -1$.

Mengevaluasi tabel operasi sama seperti prosedur penyortiran tahap demi tahap: cari jalur masuk pertama (baris), cari jalur masuk kedua (kolom), lalu ambil hasil baku di titik pertemuannya.

Berdasarkan tabel operasi $\#$ yang diberikan pada soal, berapakah hasil dari $0 \# -1$?

  • 1
  • 0
  • -1
  • 2

Jawaban: 1

Untuk menghitung $0 \# -1$, cari angka 0 pada header baris (kiri) dan angka -1 pada header kolom (atas) di tabel $\#$. Titik pertemuannya menunjukkan angka 1. Opsi B salah karena angka 0 merupakan hasil jika keliru melihat tabel $*$. Opsi C salah karena angka -1 didapat jika keliru membaca baris -1 kolom -1.

Ketelitian membaca nilai dari sel tabel biner berdasarkan konvensi urutan baris dan kolom yang tepat.

Mengurai Operasi Komposit

Selesaikan operasi di dalam tanda kurung lebih dulu, baru substitusi hasilnya untuk dikerjakan dengan tabel berikutnya.

Setelah tahu cara memetik hasil dari satu tabel secara akurat, mari kita rangkai berurutan. Sebuah operasi komposit adalah operasi matematika berjenjang yang memadukan beberapa aturan operasi sekaligus. Ketika menjumpai definisi fungsi bersarang seperti:

$$x \Delta y = 1 * (x \# y)$$

prinsip hierarki tanda kurung wajib dipatuhi: evaluasi sub-ekspresi yang terkurung paling dalam sebelum melangkah ke operasi luar.

Untuk menguji nilai $1 \Delta (-1)$, lakukan substitusi langsung nilai $x = 1$ dan $y = -1$:

$$1 \Delta (-1) = 1 * (1 \# (-1))$$

Diagram alir evaluasi operasi komposit tiga langkah dari dalam kurung hingga hasil akhir.

Berikut urutan pengerjaannya:

  1. Selesaikan bagian dalam kurung: Dari tabel $\#$, kita telah menemukan bahwa nilai pertemuan baris $1$ dan kolom $-1$ adalah $-1$. Maka, $(1 \# (-1)) = -1$.

  2. Lakukan substitusi: Ganti ekspresi $(1 \# (-1))$ dengan angka $-1$, sehingga persamaan berubah menjadi $1 * (-1)$.

  3. Eksekusi operasi luar: Buka tabel $*$ pada soal. Cari pertemuan antara baris $1$ dan kolom $-1$. Nilai perpotongannya adalah $-1$.

Dengan demikian, hasil perhitungan untuk $1 \Delta (-1)$ adalah $-1$.

Berdasarkan definisi $x \Delta y = 1 * (x \# y)$ dan tabel yang tersedia, tentukan kebenaran dari masing-masing hasil operasi komposit berikut!

  • $0 \Delta 1 = 0$ — Benar
  • $(-1) \Delta (-1) = 0$ — Salah

Pernyataan pertama benar: $0 \Delta 1 = 1 * (0 \# 1)$. Pada tabel $\#$, baris 0 kolom 1 bernilai 0. Lalu pada tabel $*$, $1 * 0 = 0$. Pernyataan kedua salah: $(-1) \Delta (-1) = 1 * (-1 \# -1)$. Pada tabel $\#$, baris -1 kolom -1 bernilai -1. Dilanjutkan pada tabel $*$, $1 * (-1)$ bernilai -1, bukan 0.

Menyelesaikan operasi matriks bersarang sesuai hierarki pengerjaan kurung secara teliti.

Menyimpulkan Hubungan Besaran

Kedua kondisi pada definisi P harus menghasilkan nilai konsisten sebelum dibandingkan secara final dengan Q.

Semua bahan penyusun sudah siap, tinggal kita satukan untuk membandingkan P dan Q. Pada soal, kuantitas P didefinisikan sebagai:

$$P = 1 \Delta (-1) \text{ atau } (-1 \# 1)$$

Mari kita cek kedua ekspresi tersebut:

Karena kedua bagian memberikan hasil yang sama, nilai $P$ terbukti tunggal dan konsisten, yaitu $P = -1$.

Garis bilangan horizontal yang membandingkan posisi P pada minus satu dan Q pada nol.

Sekarang bandingkan nilai $P$ dengan nilai $Q$ yang diketahui bernilai $0$:

$$P = -1 \quad \text{dan} \quad Q = 0$$

Pada garis bilangan, $-1$ terletak di sebelah kiri angka $0$, yang berarti $-1 < 0$. Dengan demikian, hubungan yang benar adalah $P < Q$, sehingga Opsi B merupakan jawaban yang tepat.