Rahasia Suku Tengah Barisan Aritmatika

Sifat Rahasia Tiga Suku

Dalam tiga suku barisan aritmatika, jumlah ketiga suku selalu sama dengan tiga kali suku tengahnya.

Jika suku tengah kita misalkan sebagai $x$, maka suku sebelumnya adalah $x - b$ dan suku setelahnya adalah $x + b$. Ketika ketiga suku ini kita jumlahkan:

$$(x - b) + x + (x + b) = 3x$$

Selisih $-b$ dan $+b$ saling meniadakan, menyisakan tepat tiga kali nilai tengahnya.

Sebagai contoh sederhana, perhatikan tiga suku barisan: $5, 8, 11$. Suku tengahnya adalah $8$, dan jumlah ketiganya adalah $5 + 8 + 11 = 24$, persis sama dengan $3 \times 8 = 24$.

Pada soal kita, ketiga suku rumit $p^2-qr$, $q^2-pr$, dan $r^2-pq$ telah dipastikan membentuk barisan aritmatika. Karena diketahui suku tengah bernilai $1$ (yaitu $q^2-pr = 1$), maka jumlah ketiga suku tersebut tanpa ragu adalah:

$$\text{Jumlah} = 3 \times 1 = 3$$

Hasil ini langsung mengunci Opsi C sebagai jawaban yang benar. Pemahaman konsep ini juga menjelaskan kenapa Opsi A ($1$) salah karena hanya mengambil nilai suku tengahnya saja, dan Opsi B ($2$) keliru karena mengira jumlahnya dua kali suku tengah.

Membedah Tantangan Aljabar

Kondisi soal yang memuat variabel kuadrat bisa dibongkar membuktikan sifat barisan menggunakan definisi beda yang konstan.

Mengapa pembuat soal menyertakan informasi $p + q + r = 12$? Informasi ini bukan untuk mencari nilai masing-masing variabel satu per satu, melainkan kunci pembuka pintu penyederhanaan aljabar. Dalam analogi timbangan keseimbangan, selisih antara suku ketiga dengan suku kedua harus persis sama dengan selisih antara suku kedua dengan suku pertama ($U_3 - U_2 = U_2 - U_1 = b$).

Mari kita masukkan suku-suku dari soal ke dalam definisi beda tersebut:

$$(r^2 - pq) - (q^2 - pr) = (q^2 - pr) - (p^2 - qr)$$

Buka tanda kurung dan kelompokkan suku kuadrat dengan suku kuadrat di setiap ruas:

$$r^2 - q^2 + pr - pq = q^2 - p^2 + qr - pr$$

Faktorkan selisih kuadrat dan suku dengan faktor persekutuan:

$$(r - q)(r + q) + p(r - q) = (q - p)(q + p) + r(q - p)$$

Keluarkan faktor $(r - q)$ di ruas kiri dan $(q - p)$ di ruas kanan:

$$(r - q)(p + q + r) = (q - p)(p + q + r)$$

Substitusi Aljabar Akhir

Menyederhanakan persamaan panjang ke bentuk yang lebih simpel melalui substitusi membuktikan rumus jalan pintas.

Karena $p + q + r = 12 \neq 0$, kita dapat membagi kedua ruas persamaan $(r - q)(p + q + r) = (q - p)(p + q + r)$ dengan $(p + q + r)$. Hasilnya:

$$r - q = q - p \iff p + r = 2q$$

Hubungan ini menunjukkan bahwa $p, q, r$ sendiri membentuk barisan aritmatika! Sekarang, kita susun persamaan jumlah ketiga suku barisan, sebut saja $S$:

$$S = (p^2 - qr) + (q^2 - pr) + (r^2 - pq) = p^2 + q^2 + r^2 - (pq + qr + pr)$$

Kita lakukan substitusi aljabar dengan mengubah bentuk $p^2 + r^2$ menjadi $(p + r)^2 - 2pr$:

$$S = (p + r)^2 - 2pr + q^2 - q(p + r) - pr$$

$$S = (p + r)^2 - 3pr + q^2 - q(p + r)$$

Kesalahan manipulasi saat menjabarkan bentuk kuadrat sering kali memicu kekeliruan perhitungan koefisien yang berujung pada tebakan seperti Opsi E ($5$).

Perhatikan bentuk akhirnya: $S = 3(q^2 - pr)$. Karena $q^2 - pr$ adalah suku tengah yang bernilai $1$, maka $S = 3(1) = 3$. Penjabaran aljabar formal ini membuktikan secara mutlak apa yang sudah kita temukan di awal lewat konsep dasar: jumlah tiga suku barisan aritmatika selalu tiga kali suku tengahnya (Opsi C).