Domain Fungsi Pecahan: Kenapa Ada Batasan?

Pecahan Fungsi Bukan Pecahan Biasa

Pernah bingung kenapa bentuk fungsi seperti $f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 6}$ disebut pecahan, padahal bentuknya "berantakan" dan angka di pembilangnya bisa aja lebih besar dari penyebutnya?

Dalam fungsi rasional (fungsi berbentuk pecahan), garis pecahan di tengah itu fungsinya cuma satu: simbol operasi pembagian. Fungsi ini ibarat sebuah mesin yang menerima angka input $x$. Mesin akan menghitung nilai $2x + 5$ di bagian atas, menghitung nilai $3x - 6$ di bagian bawah, lalu membagi hasil atas dengan hasil bawah. Berapa pun angkanya, besar atau kecil, tidak masalah—selama pembagiannya bisa dihitung secara matematis!

Jadi, syarat agar fungsi ini "bisa jalan" (terdefinisi) sama sekali tidak dipengaruhi oleh seberapa besar nilai pembilangnya. Yang jadi masalah cuma satu: bisakah hasil bawahnya membagi hasil atasnya?

Berdasarkan prinsip mesin pembagi, manakah pernyataan yang BENAR mengenai fungsi pecahan $f(x) = \frac{x+10}{x}$?

  • A. Tidak valid, karena angka di atas berpotensi lebih besar dari angka di bawah.
  • B. Hanya bisa dihitung jika nilai x positif.
  • C. Valid, dan artinya nilai (x+10) sekadar dibagi dengan nilai x.
  • D. Bukan merupakan fungsi, karena tidak berbentuk pecahan proporsional murni.

Jawaban: C. Valid, dan artinya nilai (x+10) sekadar dibagi dengan nilai x.

Dalam fungsi, garis pecahan sekadar berarti pembagian antara pembilang dengan penyebut. Tidak ada aturan yang mengharuskan pembilang lebih kecil dari penyebut.

Garis pecahan pada fungsi rasional murni berfungsi sebagai operasi pembagian, tanpa memandang besaran nilai pembilang dan penyebut.

Misteri Pembagi Nol di Grafik

Kalau pembilang (yang atas) boleh berapa saja, apa yang terjadi kalau hasilnya nol? Misalnya pembilangnya $0$ dan penyebutnya $5$. Hasil dari $\frac{0}{5}$ adalah $0$. Ini sangat normal! Di grafik, ini cuma berarti kurvanya menabrak sumbu-$x$.

Tapi, coba bayangkan kebalikannya: gimana kalau penyebut (yang bawah) yang bernilai nol? Coba tekan $\frac{5}{0}$ di kalkulator. Pasti muncul tulisan Error. Kenapa? Karena pembagian dengan nol tidak punya definisi dalam matematika. Kamu tidak bisa membagi 5 buah apel ke 0 orang.

Pada fungsi $f(x) = \frac{2x + 5}{3x - 6}$, satu-satunya "kiamat" bagi fungsi ini adalah ketika $3x - 6 = 0$. Selain di titik itu, fungsinya aman dan grafiknya berjalan mulus! (Termasuk saat pembilangnya $0$ di $x = -\frac{5}{2}$, itu cuma titik biasa).

Tentukan Benar atau Salah pernyataan mengenai pembilang dan penyebut nol pada fungsi rasional berikut!

  • Jika nilai pembilang suatu fungsi rasional sama dengan nol, fungsi tersebut otomatis menjadi error atau tidak terdefinisi. — Salah
  • Nilai x yang membuat penyebut bernilai nol muncul sebagai 'garis batas' (asimtot) yang tidak bisa dilewati kurva pada grafik. — Benar

Pembilang nol hanya membuat hasil akhir 0 (normal), tetapi penyebut nol menciptakan 'error' atau jurang asimtot pada grafik.

Hanya penyebut bernilai nol yang membuat fungsi error; pembilang nol adalah titik potong x biasa.

Membedah Aljabar: Mengurai Persamaan

Sekarang kita tahu bahwa fungsi akan rusak (tidak terdefinisi) HANYA jika penyebut = 0. Berarti, tugas kita adalah mencari tahu: angka $x$ berapa yang bikin $3x - 6 = 0$?

Banyak yang bingung, kapan harus ditambah/dikurang, kapan harus dikali/dibagi? Ingat urutannya:

  1. Netralkan angka yang jauh dari $x$ dulu. Di sini ada pengurangan $6$. Kebalikan dari dikurang $6$ adalah ditambah $6$. Jadi, kita tambahkan $6$ ke kedua sisi: $3x - 6 + 6 = 0 + 6$, sehingga tersisa $3x = 6$.

  2. Netralkan angka yang nempel dengan $x$. Tulisan $3x$ itu artinya $3 \times x$. Kebalikan dari perkalian adalah pembagian. Maka, kita bagi kedua sisi dengan $3$: $\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}$, yang menghasilkan $x = 2$.

Jadi, angka $x = 2$ adalah sang "pembuat masalah". Jika $x = 2$ dimasukkan ke fungsi, penyebutnya akan bernilai nol!

Dalam memecahkan persamaan $5x + 10 = 0$, kesalahan yang sering terjadi adalah membagi dengan 5 secara terburu-buru. Jika kita mengikuti konsep aljabar yang tepat, langkah pertama yang paling benar adalah...

  • A. Membagi kedua ruas dengan 5 terlebih dahulu.
  • B. Mengurangi kedua ruas dengan angka 10 terlebih dahulu.
  • C. Menambahkan 10 ke kedua ruas persamaan.
  • D. Mengubah tulisan 5x menjadi operasi 5 + x.

Jawaban: B. Mengurangi kedua ruas dengan angka 10 terlebih dahulu.

Sesuai prinsip kebalikan, kita harus 'menetralkan' angka yang posisinya paling jauh dari $x$ terlebih dahulu, yaitu $+10$. Kebalikannya adalah menguranginya dengan 10 di kedua sisi.

Langkah pertama menyelesaikan aljabar linier dasar adalah menetralkan penjumlahan/pengurangan menggunakan operasi kebalikan di kedua ruas.