Komposisi Fungsi dari Grafik

Membaca Nilai Fungsi dari Gambar

Nilai suatu fungsi pada $x$ tertentu dapat dilihat langsung dari titik koordinat $(x, y)$ pada grafik fungsi tersebut.

Grafik fungsi pada bidang Kartesius sebenarnya hanyalah kumpulan titik koordinat $(x, y)$. Nilai pada sumbu horizontal ($x$) mewakili Input (Domain), sedangkan nilai pada sumbu vertikal ($y$) mewakili Output (Range) yang dihasilkan. Saat kita ingin mencari nilai suatu fungsi tanpa persamaannya, kita cukup melacak pasangan koordinatnya langsung dari gambar.

Sebagai contoh, pada grafik fungsi merah kita bisa melihat langsung bahwa saat $x = 0$, grafik memotong sumbu vertikal di $y = 1$, yang berarti $f(0) = 1$. Dengan cara yang sama, untuk mencari $h(2)$ pada kurva hijau (parabola fungsi $h$):

  1. Cari angka $2$ pada sumbu $x$ sebagai Input (Domain).

  2. Tarik garis tegak lurus ke atas hingga menyentuh kurva hijau $h$.

  3. Dari titik temu tersebut, luruskan pandangan ke sumbu $y$ untuk membaca Output (Range)-nya.

Titik temu kurva hijau berada tepat pada koordinat $(2, 1)$, sehingga diperoleh $h(2) = 1$.

Grafik fungsi linier $k(x)$ melalui titik $(1, 3)$ dan $(2, 5)$. Berapakah nilai dari $k(2)$?

  • 2
  • 5
  • 3
  • 1

Jawaban: 5

Untuk mencari nilai $k(2)$, letakkan nilai input $x = 2$ pada sumbu horizontal, lalu tarik ke grafik titik koordinatnya. Titik yang bersesuaian adalah $(2, 5)$, sehingga nilai output $k(2) = 5$. Opsi A keliru karena mengambil nilai absis ($x$). Opsi C keliru karena mengambil nilai $y$ saat $x = 1$. Opsi D keliru karena mengambil nilai $x$ dari titik lainnya.

Menentukan nilai fungsi dari grafik sederhana

Komposisi: Output Jadi Input

Dalam Komposisi Fungsi, output dari fungsi pertama langsung menjadi input untuk fungsi kedua.

Bayangkan sebuah pabrik berantai dengan tiga mesin yang tersusun berurutan: Mesin H $\rightarrow$ Mesin G $\rightarrow$ Mesin F. Notasi $(f \circ g \circ h)(2)$ memiliki arti matematis yang sama dengan $f(g(h(2)))$. Artinya, kita selalu mulai dari kurung yang paling dalam: bahan baku angka $2$ masuk terlebih dahulu ke Mesin H.

Ilustrasi konsep pabrik berantai dengan dua mesin industri dan ban berjalan yang menyambungkan hasil keluaran satu mesin ke mesin berikutnya.

Pada langkah sebelumnya, kita sudah menemukan bahwa Mesin H mengeluarkan produk berupa angka $1$, sebab $h(2) = 1$. Inilah letak kunci terpenting dalam membaca grafik komposisi:

Sekarang giliran Mesin G yang bekerja memproses angka $1$ tersebut menjadi $g(1)$:

  1. Beralihlah ke grafik fungsi $g$ (garis lurus biru).

  2. Cari angka $1$ pada sumbu horizontal ($x$) sebagai input baru kita.

  3. Tarik garis vertikal ke atas sampai bertemu dengan garis biru $g$.

Titik potong pada garis biru tersebut berada tepat pada koordinat $(1, 2)$, yang menunjukkan bahwa nilai ordinatnya adalah $2$. Dengan demikian, hasil perantara dari rantai ini adalah $g(h(2)) = g(1) = 2$.

Dua fungsi $m$ dan $n$ digambarkan pada bidang koordinat. Jika diketahui nilai $m(3) = 4$, $n(4) = 7$, dan $n(3) = 2$, maka berapakah nilai dari $n(m(3))$?

  • 7
  • 2
  • 4
  • 12

Jawaban: 7

Pada bentuk $n(m(3))$, kerjakan fungsi terdalam terlebih dahulu: $m(3) = 4$. Hasil $4$ ini menjadi input untuk fungsi $n$, sehingga kita mencari $n(4) = 7$. Opsi B keliru karena mengabaikan fungsi $m$ dan langsung mencari $n(3)$. Opsi C keliru karena berhenti di tahap pertama tanpa mengevaluasi $n$. Opsi D keliru karena mengalikan nilai $m(3)$ dengan $3$ ($4 \times 3$).

Memasukkan hasil fungsi pertama sebagai input fungsi kedua pada komposisi grafik

Menyelesaikan Rantai Terakhir

Pola perpindahan dari sumbu $y$ kembali ke sumbu $x$ diulang terus sampai semua fungsi dalam rantai selesai.

Sekarang kita memasuki tahap akhir rantai pabrik: memproses $f(g(h(2)))$. Dari dua tahap sebelumnya, kita telah memperoleh nilai tengah $g(h(2)) = 2$. Sesuai aturan yang sama, output angka $2$ ini berpindah peran menjadi nilai input pada sumbu $x$ bagi fungsi terluar, yaitu fungsi $f$.

Diagram bidang Kartesius yang memperlihatkan grafik ketiga fungsi beserta jejak panah berantai dari h 2 ke g 1 lalu ke f 2 .

Untuk mendapatkan nilai akhir $f(2)$ pada grafik garis lurus merah (fungsi $f$):

  1. Mulai dari angka $2$ pada sumbu horizontal ($x$).

  2. Telusuri garis vertikal ke atas sampai memotong garis merah $f$.

  3. Titik temu berada di koordinat $(2, 5)$, yang berarti $f(2) = 5$.

Maka, nilai akhir dari $(f \circ g \circ h)(2)$ adalah $5$ (Opsi C).

Diberikan tiga fungsi $p$, $q$, dan $r$ dengan nilai $r(1)=2$, $q(2)=3$, $p(3)=4$, serta $p(2)=5$. Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan berikut terkait $(p \circ q \circ r)(1)$.

  • Langkah pertama dalam menghitung $(p \circ q \circ r)(1)$ adalah mencari nilai $r(1)$. — Benar
  • Nilai akhir dari $(p \circ q \circ r)(1)$ adalah 5. — Salah

Pernyataan 1 BENAR: Sesuai aturan komposisi $(p \circ q \circ r)(1) = p(q(r(1)))$, pengerjaan selalu dimulai dari fungsi paling dalam, yaitu mencari nilai $r(1)$. Pernyataan 2 SALAH: Nilai $r(1) = 2$, lalu dimasukkan ke fungsi $q$ menghasilkan $q(2) = 3$. Terakhir, hasil $3$ dimasukkan ke fungsi $p$ menghasilkan $p(3) = 4$. Jadi nilai akhirnya adalah $4$, bukan $5$ (nilai $5$ adalah jebakan jika menghitung $p(2)$ langsung tanpa melewati fungsi $q$).

Menyelesaikan komposisi tiga fungsi berurutan