Peluruhan Eksponensial: Pola Bagi Dua

Menghitung Total Waktu

Langkah pertama sebelum membagi-bagi zat adalah mengetahui berapa lama total waktu zat tersebut meluruh.

Bayangkan kamu memiliki sebuah kue utuh. Sebelum bisa menentukan berapa kali kue tersebut akan dipotong menjadi setengahnya, kamu tentu harus tahu terlebih dahulu berapa lama waktu yang berjalan dari awal kue disiapkan hingga waktu akhir pemeriksaan.

Pada pencatatan di instalasi kedokteran nuklir:

Selisih waktu pengamatan yang berjalan adalah:

$$16.00 - 06.00 = 10\text{ jam}$$

Ketelitian dalam menghitung durasi waktu ini sangat penting. Jika kamu keliru menghitung durasi waktu menjadi $8\text{ jam}$, langkah berikutnya akan ikut meleset dan menghasilkan sisa massa yang keliru, seperti yang ada pada jebakan Opsi B. Total waktu yang sebenarnya adalah tepat $10\text{ jam}$.

Menentukan Jumlah Potongan

Jumlah periode peluruhan didapat dengan membagi total waktu dengan waktu paruh.

Setelah mengetahui durasi total penyimpanan zat adalah $10\text{ jam}$, kita perlu melihat jadwal pemotongan kuenya. Waktu paruh adalah interval waktu yang dibutuhkan suatu zat untuk menyusut menjadi tepat setengah dari jumlah sebelumnya. Dalam soal ini, waktu paruh zat radioaktif adalah $2\text{ jam}$.

Garis waktu dari pukul 06.00 hingga 16.00 yang terbagi menjadi lima periode peluruhan masing-masing dua jam.

Garis waktu di atas memperlihatkan bagaimana rentang $10\text{ jam}$ terbagi secara merata oleh waktu paruh $2\text{ jam}$ menjadi $5$ tahap:

$$\text{Jumlah Periode} = \frac{\text{Total Waktu}}{\text{Waktu Paruh}} = \frac{10\text{ jam}}{2\text{ jam}} = 5\text{ periode}$$

Artinya, zat radioaktif tersebut mengalami proses penyusutan menjadi setengahnya sebanyak $5$ kali berturut-turut. Jika salah menentukan jumlah tahapan—misalnya mengira peluruhan hanya berlangsung $3$ kali—massa yang dihitung akan berhenti terlalu cepat di angka $200\text{ gram}$ seperti pada Opsi D.

Sebuah zat radioaktif memiliki waktu paruh 3 jam. Jika zat tersebut disimpan dan diamati mulai pukul 07.00 hingga pukul 19.00 pada hari yang sama, berapa kali zat tersebut mengalami peluruhan (jumlah periode peluruhan)?

  • 3 kali
  • 4 kali
  • 5 kali
  • 12 kali

Jawaban: 4 kali

Selisih waktu dari pukul 07.00 hingga 19.00 adalah 12 jam (19.00 - 07.00 = 12 jam). Dengan waktu paruh 3 jam, jumlah periode peluruhan adalah 12 jam dibagi 3 jam = 4 kali. Pengecoh 3 kali berasal dari membagi 12 dengan 4, 5 kali dari salah menghitung selisih waktu menjadi 15 jam, dan 12 kali dari mengira total jam sama dengan jumlah periode.

Menghitung jumlah periode peluruhan dari total waktu dan waktu paruh.

Pola Pembagian Berulang

Massa sisa dapat dicari dengan membagi dua massa awal sebanyak jumlah periode secara berurutan.

Setiap kali waktu paruh $2\text{ jam}$ terlewati, massa zat menyusut menjadi tepat setengah dari massa sebelumnya. Kita mulai dengan massa awal $1.600\text{ gram}$ pada pukul $06.00$.

Dengan menelusuri pemotongan kue ini tahap demi tahap sebanyak $5$ periode, kita melihat pola deret angka yang runtut:

  1. Periode 1 (pukul $08.00$): $1.600 \div 2 = 800\text{ gram}$

  2. Periode 2 (pukul $10.00$): $800 \div 2 = 400\text{ gram}$

  3. Periode 3 (pukul $12.00$): $400 \div 2 = 200\text{ gram}$

  4. Periode 4 (pukul $14.00$): $200 \div 2 = 100\text{ gram}$

  5. Periode 5 (pukul $16.00$): $100 \div 2 = 50\text{ gram}$

Hasil akhir pada pukul $16.00$ adalah $50\text{ gram}$ (Opsi A).