Akar Persamaan Kuadrat & Panjang Vektor

Panjang Vektor ke Persamaan

Panjang vektor dihitung dari akar jumlah kuadrat komponennya, yang bisa diubah menjadi persamaan tanpa akar. Pada ruang tiga dimensi, jika sebuah vektor memiliki komponen $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, maka panjang vektor didefinisikan sebagai perluasan dari Teorema Pythagoras, yaitu:

$$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Pada soal, diketahui vektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} k \\ 2k \\ k + 3 \end{pmatrix}$ dan panjangnya bernilai $9$. Kita dapat menyusun relasi ini menjadi persamaan:

$$\sqrt{k^2 + (2k)^2 + (k + 3)^2} = 9$$

Untuk mempermudah penyelesaian, kita hilangkan tanda akar dengan menguadratkan kedua ruas persamaan secara serentak:

$$k^2 + (2k)^2 + (k + 3)^2 = 9^2$$

Langkah ini mengubah persamaan bentuk akar menjadi persamaan kuadrat biasa yang siap dijabarkan.

Menyederhanakan Persamaan

Menjabarkan bentuk kuadrat dan mengelompokkan suku sejenis adalah kunci mendapatkan persamaan kuadrat standar. Langkah berikutnya adalah membuka tanda kurung dari setiap suku yang telah kita kuadratkan.

Perhatikan bentuk kuadrat suku dua $(k + 3)^2$. Penguraian yang tepat mengikuti aturan $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$(k + 3)^2 = k^2 + 6k + 9$$

Sekarang, masukkan kembali seluruh suku ke dalam persamaan utama:

$$k^2 + 4k^2 + (k^2 + 6k + 9) = 81$$

Gabungkan suku-suku yang sejenis di ruas kiri:

$$6k^2 + 6k + 9 = 81$$

Pindahkan nilai $81$ ke ruas kiri agar ruas kanan menjadi nol:

$$6k^2 + 6k + 9 - 81 = 0 \implies 6k^2 + 6k - 72 = 0$$

Agar mempermudah pemfaktoran, bagi kedua ruas dengan angka $6$:

$$k^2 + k - 12 = 0$$

Bentuk $k^2 + k - 12 = 0$ inilah bentuk standar persamaan kuadrat yang siap kita selesaikan.

Mencari Akar dari Pemfaktoran

Akar persamaan kuadrat adalah nilai yang membuat salah satu faktor bernilai nol, bukan sekadar angka yang tertulis di dalam kurung. Dari bentuk $k^2 + k - 12 = 0$, kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $-12$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $1$. Dua bilangan tersebut adalah $4$ dan $-3$, sehingga bentuk faktornya adalah:

$$(k + 4)(k - 3) = 0$$

Mari kita tentukan nilai $k$ yang membuat masing-masing faktor bernilai nol:

1. Untuk faktor pertama: $k + 4 = 0 \implies k = -4$

2. Untuk faktor kedua: $k - 3 = 0 \implies k = 3$

Dengan demikian, nilai yang memenuhi adalah $k = -4$ atau $k = 3$, yang sesuai dengan Opsi A.

Pola pembentukan persamaan dari panjang vektor atau jarak ini sering muncul di topik geometri analitik, di mana akar persamaan selalu dicari dengan menetapkan setiap faktor sama dengan nol.