Dilatasi: Pola Aljabar dan Matriks

Mesin Pengali Skalar

Dilatasi dari pusat $(0,0)$ secara aljabar adalah operasi perkalian, bukan penjumlahan, di mana setiap komponen koordinat dikalikan dengan faktor skala yang sama.

Kata dilatasi pada dasarnya berarti perbesaran atau pengecilan ukuran. Karena yang diubah adalah skala jarak dari pusat ke titik, hubungan perubahannya bersifat pelipatgandaan proporsional. Kamu bisa membayangkannya seperti sebuah Mesin Pengali Skalar: setiap angka koordinat yang masuk ke mesin akan dikalikan langsung dengan angka pengali yang sama, yaitu faktor skala ($k$).

Secara matematis, jika titik awal berada di $(x, y)$ dan didilatasi terhadap pusat $O(0,0)$ dengan faktor skala $k$, aturan bayangannya sangat sederhana:

• Komponen $x$ baru: $x' = k \cdot x$

• Komponen $y$ baru: $y' = k \cdot y$

Pada soal kita, titik awalnya adalah $A(2, -3)$ dengan faktor skala $k = 3$. Komponen $x$ dikali $3$ menjadi $3 \cdot 2 = 6$, dan komponen $y$ dikali $3$ menjadi $3 \cdot (-3) = -9$.

Pendekatan Vektor Kolom

Menuliskan koordinat sebagai vektor kolom bersusun vertikal mencegah kesalahan visual saat mengalikan.

Saat membaca koordinat mendatar seperti $(2, -3)$, mata kita terkadang melompat atau terburu-buru sehingga komponen absis dan ordinat mudah tertukar. Untuk menghindari slip tersebut, cara paling aman dan mekanistik adalah menyusun koordinat titik menjadi vektor kolom (atas-bawah).

Aturan perkalian skalar dengan vektor kolom dituliskan sebagai:

$$k \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot x \\ k \cdot y \end{pmatrix}$$

Mari kita masukkan angka dari soal ke dalam susunan ini:

$$3 \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -9 \end{pmatrix}$$

Baris atas mengunci nilai absis ($x$), dan baris bawah mengunci nilai ordinat ($y$). Mengembalikan hasil vektor kolom ini ke format titik koordinat menghasilkan $A'(6, -9)$, yang membuktikan bahwa Opsi A adalah jawaban yang benar.

Mencegah Slip Tanda dan Posisi

Slip posisi dan tanda sering menghasilkan jawaban salah yang tampaknya benar jika kita tidak rapi dan konsisten dalam mengalikan.

Dua pengecoh lain pada soal menunjukkan betapa mudahnya terjadi kekeliruan kecil saat berhitung buru-buru:

1. Jebakan Tukar Letak: Opsi D: $A'(9, -6)$ terjadi ketika kedua angka sudah dikali $3$, tetapi posisinya tertukar saat menuliskan hasil akhir. Nilai $-3$ pada $y$ dikalikan $3$ lalu ditaruh di depan sebagai absis ($9$), sementara nilai $2$ pada $x$ dikalikan $3$ lalu diberi tanda minus di belakang ($-6$).

2. Jebakan Tanda Minus: Opsi B: $A'(-6, 9)$ diperoleh jika faktor skala yang digunakan tertukar tandanya menjadi $k = -3$, menghasilkan $(-3) \cdot 2 = -6$ dan $(-3) \cdot (-3) = 9$.

Disiplin memasukkan koordinat ke dalam format vektor kolom memastikan setiap tanda negatif dan posisi nilai tetap terkontrol dari awal hingga akhir. Pola perkalian per komponen ini juga akan kamu temukan kembali pada operasi vektor dan perkalian skalar matriks.

Berikut latihan singkat untuk memantapkan ketelitian tanda dan posisimu: