Pertidaksamaan Rasional: Logika Tanda

Kenapa Kali Silang Itu Haram?

Waktu ngerjain soal tadi, kamu kepikiran buat ngali silang $(x - 5)$ ke angka 0, kan? Terus tiba-tiba penyebutnya hilang dan sisa $x + 5 \geq 0$. Keliatannya gampang, tapi ini adalah jebakan paling fatal di aljabar!

Mari kita bedah alasannya. Dalam matematika, ada Aturan Emas Pertidaksamaan.

Coba kita pakai angka beneran. Kita tahu bahwa $4 > 2$ itu benar.

Kalau kedua sisi dikali angka positif (misal 2): $8 > 4$. Masih benar!
Tapi, kalau dikali angka negatif (misal -2): $-8 > -4$. SALAH! Seharusnya tandanya dibalik jadi $-8 < -4$.

Nah, balik ke soal kita: $\frac{x + 5}{x - 5} \geq 0$. Kalau kamu kalikan kedua sisi dengan $(x - 5)$, apa kamu yakin $(x - 5)$ itu bernilai positif? Gimana kalau ternyata nilainya negatif? Karena nilai $x$ belum diketahui, tanda positif atau negatifnya juga misteri. Kalau kita asal kali silang tanpa tahu harus membalik tanda atau nggak, kita kayak main tebak-tebakan. Solusinya bakal berantakan!

Apa alasan utama kita dilarang keras mengalikan silang penyebut $(x-2)$ ke sisi sebelah kanan pada pertidaksamaan $\frac{x+3}{x-2} > 0$?

A. Karena angka 0 dikali berapapun hasilnya tetap 0.
B. Karena kita tidak tahu apakah nilai $(x-2)$ positif atau negatif, sehingga bingung apakah tanda harus dibalik atau tidak.
C. Karena $(x-2)$ adalah bilangan pecahan.
D. Karena perkalian silang hanya berlaku untuk persamaan linear, bukan pecahan.

Jawaban: B. Karena kita tidak tahu apakah nilai $(x-2)$ positif atau negatif, sehingga bingung apakah tanda harus dibalik atau tidak.

Aturan dasar pertidaksamaan: jika dikali bilangan negatif, tanda dibalik. Karena variabel $x$ belum diketahui, $(x-2)$ bisa jadi positif atau negatif, membuat kali silang sangat berisiko.

Mengalikan pertidaksamaan dengan ekspresi variabel berbahaya karena tidak kepastian tanda (positif/negatif) untuk membalik tanda pertidaksamaan.

Cara Aman: Menguji Zona Tanda

Kalau kali silang dilarang, terus gimana caranya? Kuncinya bukan ngilangin penyebut, tapi menganalisis tanda dari perpaduan pembilang dan penyebut.

Bentuk pecahan $\frac{A}{B} \geq 0$ artinya hasil bagi A dan B harus bernilai positif atau nol. Kapan sebuah pecahan bernilai positif? Pastinya saat kamu bagi $(+)$ dengan $(+)$, ATAU $(-)$ dengan $(-)$.

Langkah amannya adalah membagi garis bilangan jadi beberapa "zona" menggunakan titik batas (pembuat nol):

Kapan pembilang nol? Saat $x + 5 = 0 \rightarrow x = -5$.
Kapan penyebut nol? Saat $x - 5 = 0 \rightarrow x = 5$.

Titik $x = -5$ dan $x = 5$ ini membelah garis bilangan jadi 3 zona. Tinggal kita ambil satu angka sembarang di tiap zona untuk ngetes tandanya. Misal di zona tengah (antara -5 dan 5), kita tes angka $x = 0$:

Hasilnya negatif (-). Karena soal minta yang $\geq 0$ (positif), berarti zona tengah ini bukan jawabannya.

Jika kita menguji nilai $x = -2$ pada pertidaksamaan $\frac{x+5}{x-5} \geq 0$, apa tanda dari pembilang dan penyebut yang dihasilkan secara berurutan?

A. Positif dan Positif
B. Negatif dan Negatif
C. Positif dan Negatif
D. Negatif dan Positif

Jawaban: C. Positif dan Negatif

Pembilang: $-2 + 5 = 3$ (Positif). Penyebut: $-2 - 5 = -7$ (Negatif). Hasil baginya adalah Negatif, sehingga $x = -2$ tidak memenuhi $\geq 0$.

Tanda keseluruhan pecahan ditentukan oleh operasi perpaduan tanda antara pembilang dan penyebut.

Rahasia Bulat Penuh vs Kosong

Kamu sempet nanya, kenapa di titik $5$ tandanya pakai bulat kosong (atau cuma $>$, gak pakai $\geq$)? Ini hubungannya sama batasan fatal dalam matematika.

Coba bayangin sebuah kalkulator itu kayak mesin pemroses angka.

Kalau kamu membagi sesuatu dengan angka nol (misal $\frac{10}{0}$), mesinnya bakal error atau meledak! Dalam matematika, pembagian dengan nol itu tidak terdefinisi.

Mari kita cek titik batas kita:

Di $x = -5$, pembilangnya jadi nol: $\frac{0}{-10} = 0$. Karena soal mengizinkan $\geq 0$, nilai nol ini SAH. Makanya digambar dengan bulat penuh. Angka -5 boleh masuk jadi jawaban.
Di $x = 5$, penyebutnya jadi nol: $\frac{10}{0}$. Ini HARAM. Apapun yang terjadi, penyebut gak boleh nol. Makanya digambar dengan bulat kosong. Angka 5 dilarang keras masuk jadi jawaban!

Tentukan kebenaran aturan titik batas pada pertidaksamaan pecahan berikut ini!

Pembuat nol dari pembilang selalu digambar dengan bulat penuh, apapun tanda pertidaksamaannya. — Salah
Pembuat nol dari penyebut selalu digambar dengan bulat kosong karena tidak boleh sama dengan nol. — Benar

Pernyataan 1 salah karena pembilang pakai bulat penuh HANYA jika tandanya $\geq$ atau $\leq$. Pernyataan 2 benar, penyebut nol tak terdefinisi jadi selalu bulat kosong.

Penyebut tidak boleh bernilai nol dalam kondisi apapun, sehingga selalu bulat kosong.