Trik Kilat Deret Aritmatika Lewat Suku Tengah
Suku Tengah dan Rata-rata
Pada deret aritmatika dengan jumlah suku ganjil, Suku Tengah selalu bernilai sama dengan rata-rata keseluruhan deret tersebut.
Banyak yang mengira kita wajib membongkar nilai suku pertama ($a$) dan beda ($b$) satu per satu untuk memahami perilaku sebuah deret. Padahal, deret aritmatika memiliki sifat simetri yang indah: beban suku-suku di sebelah kiri dan kanan saling meniadakan selisihnya terhadap suku yang ada di tengah.
Bayangkan sebuah Titik Tumpu Timbangan. Jika sembilan beban diletakkan berjejer dengan jarak nilai yang konstan, titik seimbang timbangan akan tepat jatuh di suku kelima ($U_5$). Pada soal kita, sembilan suku deret aritmatika memiliki jumlah total $S_9 = 81$. Karena jumlah sukunya ganjil ($n = 9$), nilai rata-rata sekaligus Suku Tengah deret ini langsung didapat:
$$\text{Rata-rata} = U_5 = \frac{S_9}{9} = \frac{81}{9} = 9$$
Menghitung Jumlah Celah
Jumlah suku baru yang disisipkan di antara setiap suku berurutan selalu satu buah lebih sedikit dari total suku yang ada.
Saat membaca kalimat "pada setiap $2$ suku yang berurutan disisipkan rata-rata kedua suku", kesalahan yang sering terjadi adalah menebak sembarangan atau mengira hanya ada $4$ suku sisipan karena membagi $9$ dengan $2$. Akibatnya, perhitungan suku sisipan menjadi berantakan dan memicu pemilihan jawaban spekulatif seperti Opsi C (149).
Analogi sederhananya sama persis seperti tiang pagar atau rentangan jari tangan: jika kamu menancapkan $9$ tiang berjejer lurus, ruang atau celah terbuka di antara tiang-tiang tersebut bukan $9$ atau $4$, melainkan tepat $9 - 1 = 8$ celah.
Karena setiap celah diisi tepat $1$ buah Suku Sisipan, maka banyak suku baru yang masuk ke dalam deret adalah tepat $8$ suku.
Dalam sebuah antrean terdapat 15 orang berdiri berjajar. Jika di antara setiap 2 orang yang berurutan akan diletakkan sebuah kursi, berapa banyak kursi yang dibutuhkan?
- 7 kursi
- 14 kursi
- 15 kursi
- 16 kursi
Jawaban: 14 kursi
Jumlah celah di antara n objek berurutan selalu bernilai n - 1. Karena terdapat 15 orang, banyak celah yang terbentuk adalah 15 - 1 = 14 celah, sehingga dibutuhkan 14 kursi. Pengecoh 7 kursi berasal dari membagi dua sembarangan, 15 kursi mengira jumlah celah sama dengan orang, dan 16 kursi salah menambahkan satu.
Siswa dapat menentukan jumlah celah dalam barisan objek berurutan
Simetri Deret Sisipan
Deret baru yang dibentuk oleh rata-rata suku sisipan memiliki Titik Simetri dan rata-rata yang sama persis dengan deret awalnya.
Nilai rata-rata dari dua suku berurutan pada deret aritmatika sejatinya adalah bilangan yang posisinya tepat di tengah-tengah kedua suku itu. Karena deret awal berimbang sempurna di sekitar Titik Tumpu Timbangan bernilai $9$ ($U_5 = 9$), maka seluruh $8$ buah Suku Sisipan baru ini juga tersebar secara simetris di sekeliling titik tumpu yang sama.
Artinya, rata-rata dari ke-$8$ suku sisipan tersebut juga bernilai $9$! Kita tidak perlu repot-repot menjabarkan rumus aljabar yang panjang seperti $\frac{1}{2}(2a+b) + \frac{1}{2}(2a+3b) + \dots$ untuk mencari jumlahnya. Cukup kalikan banyak suku sisipan dengan nilai rata-ratanya:
$$\text{Jumlah Suku Sisipan} = 8 \times 9 = 72$$