Aturan Perkalian: Mana Dulu yang Diisi?

Satu Syarat: Mulai dari Ratusan

Dalam membentuk bilangan, posisi yang memiliki aturan khusus harus diisi lebih dulu.

Saat kita diminta menyusun bilangan tiga angka dari $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, ada satu aturan alamiah nilai tempat: angka 0 tidak boleh menempati posisi terdepan (ratusan). Jika angka 0 berada di ratusan, seperti $045$, itu bukan lagi bilangan tiga angka, melainkan bilangan dua angka ($45$). Karena itu, kotak ratusan memiliki Syarat Posisi yang paling rewel dan harus kita selesaikan pertama kali.

Kita menggunakan Metode Slot, yaitu membayangkan tiga kotak kosong: Ratusan, Puluhan, dan Satuan.

Kondisi 1: Boleh Berulang (Opsi A)

Jika angka Boleh Berulang, angka yang sudah dipakai di ratusan boleh dipilih kembali untuk puluhan maupun satuan.

• Ratusan: Hanya boleh angka $1, 2, 3, 4, 5$ $\to$ $5$ pilihan.

• Puluhan: Bebas, angka $0, 1, 2, 3, 4, 5$ boleh semua $\to$ $6$ pilihan.

• Satuan: Bebas, semua angka boleh $\to$ $6$ pilihan.

Banyaknya bilangan adalah $5 \times 6 \times 6 = 180$ bilangan. Pernyataan pada Opsi A bernilai benar.

Kondisi 2: Tidak Boleh Berulang (Opsi B)

Jika angka Tidak Boleh Berulang, setiap angka yang sudah terpasang di satu posisi tidak bisa dipilih lagi di posisi lain.

• Ratusan: Diisi lebih dulu dari angka non-nol ($1$ sampai $5$) $\to$ $5$ pilihan.

• Puluhan: Dari total $6$ angka yang ada, $1$ angka sudah dipakai di ratusan. Namun sekarang angka $0$ sudah boleh ikut $\to$ sisa $5$ pilihan.

• Satuan: Dua angka sudah terpakai di ratusan dan puluhan $\to$ sisa $4$ pilihan.

Banyaknya bilangan adalah $5 \times 5 \times 4 = 100$ bilangan. Pernyataan pada Opsi B menyatakan hasilnya $180$ bilangan, sehingga bernilai salah karena menghitungnya seolah angkanya boleh berulang.

Syarat Bertumpuk (Boleh Berulang)

Jika ada lebih dari satu syarat, selesaikan semua kotak yang bersyarat sebelum kotak yang bebas.

Ketika suatu soal meminta bilangan dengan beberapa kriteria sekaligus (misalnya nilainya harus lebih dari $300$ sekaligus ganjil), kita tidak boleh mengisi kotak secara membabi buta dari kiri ke kanan atau sebaliknya. Prioritas pengerjaan selalu jatuh pada kotak yang memegang Syarat Posisi: tentukan nilai ratusan dan satuan terlebih dahulu, lalu serahkan sisanya ke kotak puluhan yang bebas aturan.

Sebagai contoh, amati analisis untuk Opsi C dan Opsi D berikut:

1. Ganjil dan Lebih dari 300 (Opsi C)

Tersedia angka $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ dengan aturan Boleh Berulang:

• Ratusan (Syarat $> 300$): Bilangan harus lebih dari $300$, maka angka ratusan yang boleh adalah $3, 4,$ atau $5$ $\to$ $3$ pilihan.

• Satuan (Syarat Ganjil): Agar bilangan bernilai ganjil, ujungnya harus ganjil, yaitu $1, 3,$ atau $5$ $\to$ $3$ pilihan.

• Puluhan (Bebas): Karena boleh berulang, semua angka $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ boleh dipakai $\to$ $6$ pilihan.

Total bilangan yang terbentuk adalah $3 \times 6 \times 3 = 54$ bilangan. Maka, Opsi C yang menyebutkan $90$ bilangan bernilai salah. Angka $90$ merupakan jebakan jika seseorang lupa pada syarat $> 300$ dan menghitung semua bilangan ganjil ($5 \times 6 \times 3 = 90$).

2. Genap dan Kurang dari 300 (Opsi D)

Tersedia angka $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ dengan aturan Boleh Berulang:

• Ratusan (Syarat $< 300$): Hanya boleh angka $1$ atau $2$ (ingat, $0$ tidak boleh di ratusan) $\to$ $2$ pilihan.

• Satuan (Syarat Genap): Harus diakhiri angka genap, yaitu $0, 2,$ atau $4$ $\to$ $3$ pilihan.

• Puluhan (Bebas): Semua angka boleh $\to$ $6$ pilihan.

Total bilangan yang terbentuk adalah $2 \times 6 \times 3 = 36$ bilangan. Maka, Opsi D yang menyebutkan $20$ bilangan bernilai salah.

Syarat Saling Berebut (Tidak Berulang)

Jika sebuah angka memengaruhi dua syarat sekaligus pada kasus tidak berulang, kita harus memecahnya menjadi beberapa kasus.

Pada Opsi E, kita diminta menyusun bilangan kelipatan $5$ dari $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ dengan aturan Tidak Boleh Berulang. Syarat bilangan kelipatan $5$ adalah digit satuan harus bernilai $0$ atau $5$. Namun, di sisi lain, digit ratusan memiliki aturan ketat: tidak boleh bernilai $0$.

Di sinilah muncul konflik perebutan: angka $0$ memengaruhi satuan dan ratusan sekaligus. Jika satuan memakai angka $0$, maka posisi ratusan sudah bebas dari ancaman angka $0$. Sebaliknya, jika satuan memakai angka $5$, angka $0$ masih berkeliaran dan tidak boleh ditaruh di ratusan. Karena jumlah pilihan di ratusan berubah-ubah tergantung siapa yang menempati satuan, kita tidak bisa menghitungnya sekaligus dalam satu baris perkalian. Solusinya adalah memecah persoalan menjadi dua kasus terpisah.

Kasus 1: Satuan Angka 0

Jika angka $0$ sudah dipasang di satuan:

• Satuan: Dipatok angka $0$ $\to$ $1$ pilihan.

• Ratusan: Angka $0$ sudah habis dipakai di belakang, sehingga sisa angka $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ aman dipilih semua $\to$ $5$ pilihan.

• Puluhan: Dari $6$ angka awal, sudah terpakai $2$ angka (untuk satuan dan ratusan) $\to$ sisa $4$ pilihan.

Banyak susunan untuk Kasus 1 adalah $5 \times 4 \times 1 = 20$ bilangan.

Kasus 2: Satuan Angka 5

Jika angka $5$ dipasang di satuan:

• Satuan: Dipatok angka $5$ $\to$ $1$ pilihan.

• Ratusan: Angka $5$ sudah terpakai dan angka $0$ dilarang di depan, maka pilihan yang tersisa hanya $\{1, 2, 3, 4\}$ $\to$ $4$ pilihan.

• Puluhan: Dari $6$ angka awal, terpakai $2$ angka (untuk satuan dan ratusan), dan sekarang angka $0$ sudah boleh ikut $\to$ sisa $4$ pilihan.

Banyak susunan untuk Kasus 2 adalah $4 \times 4 \times 1 = 16$ bilangan.

Total keseluruhan bilangan kelipatan $5$ adalah $20 + 16 = 36$ bilangan. Pernyataan pada Opsi E bernilai benar.