Operasi Biner: Trik Aljabar & Mesin Hitung

Mesin Biner dan Susunannya

Operasi biner bisa dianggap sebagai mesin yang memproses input sesuai instruksi yang tertulis pada rumusnya. Pada dasarnya, operasi biner adalah aturan matematika yang menggabungkan dua elemen, sebut saja $x$ dan $y$, untuk menghasilkan satu nilai tunggal. Bayangkan sebuah mesin pengolah dengan dua corong masukan di bagian atas: nilai $x$ dimasukkan ke corong kiri dan $y$ ke corong kanan. Di dalam mesin, terdapat rangkaian proses aljabar yang bekerja sebelum akhirnya mengeluarkan satu produk jadi (output).

Pada awalnya, mesin kita memiliki aturan susunan aljabar yang tampak cukup rumit:

$$x \odot y = \frac{(x + y)^2 - 2xy}{x + y}$$

Susunan gir di dalam mesin ini sebenarnya terlalu "gemuk" dan berbelit-belit. Kita bisa membersihkannya terlebih dahulu menggunakan identitas aljabar dasar. Mari jabarkan suku pembilang $(x + y)^2$ langkah demi langkah:

$$(x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x^2 + xy + yx + y^2 = x^2 + 2xy + y^2$$

Sekarang kembalikan bentuk penjabaran ini ke dalam pembilang mesin:

$$x \odot y = \frac{(x^2 + 2xy + y^2) - 2xy}{x + y}$$

Perhatikan bahwa suku $+2xy$ dan $-2xy$ saling meniadakan (menghasilkan nol). Dengan menghilangkan gir yang tidak perlu tersebut, mesin biner kita bertransformasi menjadi bentuk yang jauh lebih ringkas:

$$x \odot y = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$$

Mencari Input yang Hilang

Jika output mesin diketahui, kita bisa mencari inputnya dengan menyusun persamaan dan menyelesaikannya. Sekarang bayangkan kita mengetahui dua hal: input kedua yang masuk ke corong adalah $y = 3$, dan produk akhir yang keluar dari mesin adalah $4$. Kita ditugaskan untuk menemukan berapa nilai input pertama ($x$) yang dimasukkan.

Dengan menggunakan definisi mesin yang sudah disederhanakan, yakni $x \odot y = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$, kita masukkan nilai $y = 3$ dan samakan dengan $4$:

$$\frac{x^2 + 3^2}{x + 3} = 4 \implies \frac{x^2 + 9}{x + 3} = 4$$

Kalikan kedua ruas dengan penyebut $(x + 3)$:

$$x^2 + 9 = 4(x + 3)$$

Urai ruas kanan menggunakan sifat distributif:

$$x^2 + 9 = 4x + 12$$

Pindahkan seluruh suku di ruas kanan ke ruas kiri dengan mengurangkan $4x$ dan $12$:

$$x^2 - 4x + 9 - 12 = 0 \implies x^2 - 4x - 3 = 0$$

Persamaan kuadrat ini tidak dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat sederhana karena tidak ada pasangan bilangan bulat yang jika dikalikan menghasilkan $-3$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $-4$. Oleh karena itu, kita memerlukan rumus kuadrat (abc) dengan koefisien $a = 1$, $b = -4$, dan $c = -3$:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$$

Bentuk $\sqrt{28}$ dapat disederhanakan menjadi $\sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$. Maka nilai $x$ adalah:

$$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$$

Karena aturan mesin mensyaratkan bahwa input $x$ harus berupa bilangan real positif, dan $2 - \sqrt{7} \approx 2 - 2{,}646 < 0$, maka satu-satunya nilai input yang memenuhi adalah $x = 2 + \sqrt{7}$.

Karakteristik Nilai yang Didapat

Kriteria ganjil, genap, dan prima hanya berlaku untuk keluarga bilangan asli atau bulat. Dari perhitungan rumus kuadrat sebelumnya, kita memperoleh satu nilai input yang sah, yaitu $x = 2 + \sqrt{7}$.

Bilangan $2 + \sqrt{7}$ tergolong sebagai bilangan irasional, yaitu bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan bilangan bulat $\frac{a}{b}$ karena memuat bentuk akar tak sempurna ($\sqrt{7}$).

Karena $x = 2 + \sqrt{7}$ bukan bilangan bulat, maka:

• Pernyataan bahwa $x$ bilangan ganjil (Opsi A) bernilai SALAH.

• Pernyataan bahwa $x$ bilangan prima (Opsi B) bernilai SALAH.