Program Linear: Meraih Keuntungan Maksimal

Step 1: Memastikan Fungsi Kendala

Pertidaksamaan fungsi kendala merangkum batasan stok bahan baku yang kita miliki. Dalam menentukan kombinasi menu dapur, bayangkan seorang chef yang memiliki stok bahan mentah terbatas di lemari penyimpanan. Setiap jenis roti yang dibuat akan berebut jatah bahan yang sama, sehingga produksi roti yang satu langsung membatasi kapasitas produksi roti lainnya.

Pada kasus produksi roti ini, persediaan bahan diubah ke satuan gram terlebih dahulu agar setara dengan kebutuhan tiap resep:

• Tepung: $5\text{ kg} = 5.000\text{ gram}$

• Mentega: $4\text{ kg} = 4.000\text{ gram}$

Jika $x$ adalah banyaknya Roti Keju dan $y$ adalah banyaknya Roti Cokelat, maka batasan bahan dapat dirumuskan menjadi:

1. Kendala Tepung: $200x + 100y \le 5.000$, disederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan $100$ menjadi $2x + y \le 50$.

2. Kendala Mentega: $100x + 100y \le 4.000$, disederhanakan menjadi $x + y \le 40$.

Karena jumlah produksi tidak mungkin bernilai negatif, terdapat syarat non-negatif $x \ge 0$ dan $y \ge 0$. Rumusan ini membuktikan bahwa Opsi A Benar. Area yang memenuhi seluruh batasan ini sekaligus disebut daerah penyelesaian (area yang diarsir pada grafik di atas). Selanjutnya, bagaimana kita menemukan kombinasi produksi terbaik di dalam area tersebut?

Step 2: Mencari Titik Pojok (Eliminasi)

Titik potong antara dua garis kendala menunjukkan kondisi di mana kedua bahan baku habis terpakai secara bersamaan. Berdasarkan Teorema Fundamental Program Linear, nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu masalah selalu terletak pada titik pojok yang membatasi daerah penyelesaian. Titik potong kedua garis batas merupakan salah satu kandidat terkuat untuk menghasilkan keuntungan terbesar.

Hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa titik potong kedua garis berada pada koordinat $(10, 30)$. Artinya, jika produsen membuat $10$ buah Roti Keju dan $30$ buah Roti Cokelat, seluruh stok tepung ($5.000\text{ gram}$) dan mentega ($4.000\text{ gram}$) terpakai habis tanpa ada bahan yang tersisa. Temuan ini membuktikan bahwa Opsi C Benar.

Step 3: Uji Fungsi Tujuan

Nilai keuntungan maksimum dipastikan dengan menguji setiap titik pojok ke dalam rumus fungsi tujuan. Target keuangan produsen adalah memaksimalkan total pendapatan dari penjualan roti, yang dirumuskan sebagai:

$$f(x, y) = 10.000x + 7.000y$$

Mari kita hitung nilai fungsi tujuan pada setiap titik pojok yang membatasi daerah penyelesaian:

1. Titik Pojok Sumbu-$x$ $(25, 0)$: hanya membuat Roti Keju sebanyak mungkin.

   $$f(25, 0) = 10.000(25) + 7.000(0) = \text{Rp}250.000{,}00$$

2. Titik Pojok Sumbu-$y$ $(0, 40)$: hanya membuat Roti Cokelat sebanyak mungkin.

   $$f(0, 40) = 10.000(0) + 7.000(40) = \text{Rp}280.000{,}00$$

3. Titik Perpotongan $(10, 30)$: membuat kombinasi kedua jenis roti.

   $$f(10, 30) = 10.000(10) + 7.000(30) = 100.000 + 210.000 = \text{Rp}310.000{,}00$$

Dari ketiga hasil di atas, nilai pendapatan tertinggi adalah $\text{Rp}310.000{,}00$. Ini membuktikan bahwa Opsi B Benar. Dengan demikian, ketiga pernyataan pada soal (Opsi A, Opsi B, dan Opsi C) semuanya bernilai BENAR.