Mengurai Persamaan Aljabar Banyak Variabel

Rahasia Kiri = Kanan

Bayangkan kamu melihat sebuah timbangan yang seimbang sempurna, tidak peduli apa pun benda tak dikenal (kita sebut saja $x$) yang kamu taruh di atasnya. Di matematika, ini disebut dengan identitas polinomial.

Ketika ada persamaan seperti $(A)x + B = 3x + 5$ yang berlaku untuk setiap nilai $x$, wajar kalau kamu merasa bingung karena ada huruf $A, B,$ dan $x$ berkerumun sekaligus. Tapi, rahasianya ada di sini: $x$ bukanlah angka yang harus dicari, melainkan hanyalah penanda posisi (seperti kotak kosong).

Karena sisi kiri dan sisi kanan persis identik, kelompok yang "menempel" pada $x$ di kiri haruslah persis sama dengan kelompok $x$ di kanan. Begitu pula dengan angka yang berdiri sendiri (konstanta).

Menerjemahkan Teks ke Aljabar

Dalam soal, disebutkan bahwa $g(x)$ berbentuk garis lurus (linear). Alih-alih membayangkannya sekadar sebagai coretan di atas kertas, kita bisa langsung menerjemahkannya ke dalam bahasa aljabar: $g(x) = ax + b$.

Tapi, ada syarat khusus dari soal yang harus kita ingat: "koefisien $x$ selalu positif". Artinya, nilai $a$ (angka yang menempel di depan $x$) dipastikan lebih besar dari nol ($a > 0$). Fakta kecil ini sering terabaikan, padahal ia adalah penentu akhir dari jawaban kita nanti.

Selanjutnya, soal mengatakan $g(x) + h(x) = 3x + 5$. Di sini naluri logis kita bermain: jika sebuah fungsi linear ($g(x)$) ditambahkan sesuatu ($h(x)$) dan hasilnya tetap fungsi linear derajat satu ($3x+5$), maka $h(x)$ juga pasti sebuah fungsi linear, yang bisa kita tulis sebagai $h(x) = px + q$.

Dengan menjumlahkannya ke bawah persis seperti bilangan biasa, kita mengelompokkan sesama $x$ dan sesama angka tanpa $x$. Hasilnya membawa kita kembali ke konsep di halaman pertama: $(a+p)x + (b+q) = 3x + 5$.

Kita berhasil menyimpan dua petunjuk penting:

1. $a + p = 3$

2. $b + q = 5$

Membedah $(h \circ g)(x)$

Komposisi fungsi $(h \circ g)(x)$ seringkali terasa mengintimidasi, tapi pada dasarnya itu hanyalah proses "memasukkan kotak ke dalam kotak yang lebih besar".

Kita tahu $h(x) = px + q$. Apa jadinya jika kita mengganti input $x$ dengan seluruh fungsi $g(x)$? Prosesnya diselesaikan dari dalam ke luar: $h(g(x)) = h(ax+b)$.

Sesuai informasi dari soal, hasil dari komposisi tersebut adalah $-(4x+7)$, atau sama dengan $-4x - 7$.

Lagi-lagi, kita terapkan prinsip kesamaan koefisien: kelompok $x$ di kiri disamakan dengan kelompok $x$ di kanan, maka $(pa) = -4$. Lalu sisa angka konstanta disamakan juga, maka $(pb+q) = -7$.

Sempurna! Kita sudah berhasil menerjemahkan semua petunjuk soal menjadi persamaan matematika.