Melipatgandakan Bakteri: Intuisi Eksponen

Efek Bola Salju Penggandaan

Bayangkan satu sel bakteri di bawah mikroskop. Dia nggak berkembang biak dengan cara melahirkan secara perlahan, tapi dengan membelah dirinya secara utuh. Dari 1 sel, plop, jadi 2 sel.

Pembelahan berulang ini adalah sebuah perkalian yang terjadi terus-menerus.

Daripada capek menulis panjang-panjang, matematika punya "cara malas" untuk menulis perkalian berulang: eksponen (pangkat).

Jadi, $2 \times 2 \times 2$ cukup ditulis $2^3$.

Jika ada satu bakteri yang membelah diri menjadi 3 setiap siklusnya (1 jadi 3, 3 jadi 9, dst), dan hasil pertumbuhannya tertulis sebagai $3^4$, apa arti angka 4 pada bentuk tersebut?

  • A. Bakteri telah berkembang biak selama 4 menit
  • B. Bakteri telah mengalami pembelahan sebanyak 4 kali
  • C. Jumlah total bakteri adalah 4 buah
  • D. Kecepatan membelah bakteri adalah 4 kali per detik

Jawaban: B. Bakteri telah mengalami pembelahan sebanyak 4 kali

Angka eksponen menunjukkan 'berapa kali' basis itu dikalikan dengan dirinya sendiri. Jadi 3^4 berarti ada 4 siklus pembelahan yang terjadi.

Angka eksponen mewakili jumlah siklus perkalian (frekuensi kejadian), bukan satuan waktu atau jumlah akhir.

Menyelaraskan Zona Waktu

Di soal, kita dikasih dua informasi waktu: bakteri membelah setiap $15$ menit, dan kita harus menghitung jumlahnya setelah $1{,}5$ jam.

Jebakan paling klasiknya adalah langsung mengoperasikan kedua angka ini (misalnya $1{,}5 / 15$). Padahal, kita nggak bisa membandingkan "menit" dengan "jam". Ibarat mau belanja di warung pakai Dolar, kursnya harus disamakan dulu!

Ubah satuan yang besar (jam) menjadi satuan yang lebih kecil (menit) agar seragam: $1{,}5 \text{ jam} = 1{,}5 \times 60 \text{ menit} = \mathbf{90 \text{ menit}}$.

Sekarang kita bisa cari tahu, ada berapa kali siklus pembelahan selama 90 menit itu? Kalau total waktu 90 menit dan tiap kejadian butuh 15 menit, kita tinggal bagi: $\frac{90}{15} = \mathbf{6 \text{ siklus kejadian}}$.

Artinya, bakteri tersebut sudah membelah sebanyak 6 kali. Faktor pengkalinya adalah $2^6$.

Sebuah amuba membelah diri setiap 20 menit. Berapa banyak siklus pembelahan yang dialami amuba tersebut jika dibiarkan selama 2 jam?

  • A. 4 siklus
  • B. 6 siklus
  • C. 10 siklus
  • D. 40 siklus

Jawaban: B. 6 siklus

Samakan waktu: 2 jam = 120 menit. Jumlah siklus = total waktu / durasi per siklus = 120 / 20 = 6 kali pembelahan.

Jumlah siklus didapat dengan membagi total durasi (dalam satuan seragam) dengan durasi satu siklus kejadian.

Memasukkan Pasukan Awal

Di dua halaman sebelumnya, kita baru menghitung pertumbuhan seolah-olah awalnya cuma ada 1 bakteri, yang menghasilkan faktor pengali $2^6$.

Tapi ingat, di soal ceritanya kita nggak mulai dari 1 bakteri. Kita punya 10 bakteri sebagai bibit awal (ditulis sebagai $N_0$).

Jadi, jumlah total akhir hanyalah jumlah bakteri mula-mula dikalikan dengan seberapa besar mereka telah berkembang:

Ini adalah bentuk mentah dari jawaban kita. Secara nilai matematika, angka ini sudah 100% benar. Tapi, apa jadinya kalau bentuk ini nggak tersedia di pilihan ganda?

Jika di sebuah wadah awalnya dimasukkan 5 sel, lalu seluruh sel tersebut membelah diri (menjadi dua lipat) sebanyak 8 kali, bagaimana bentuk matematis untuk total sel di akhir pengamatan?

  • A. $5 \times 2^8$
  • B. $8 \times 2^5$
  • C. $5 \times 8^2$
  • D. $10^8$

Jawaban: A. $5 \times 2^8$

5 sel mula-mula masing-masing berkembang biak menjadi $2^8$, sehingga total dari kelimanya adalah $5 \times 2^8$.

Total objek akhir = Jumlah awal dikalikan dengan faktor perkembangbiakan eksponensialnya.