Mendeduksi Grafik Kuadrat dari Parameternya
Arah Bukaan dan Diskriminan
Arah bukaan parabola ditentukan murni dari tanda parameter $a$, sedangkan posisinya terhadap sumbu-x dibuktikan lewat diskriminan $D$. Ketika berhadapan dengan fungsi kuadrat berparameter seperti $f(x) = kx^2 + 2kx + (k-1)$, bayangkan fungsi ini sebagai sebuah sistem kendali. Di sini, parameter $k$ adalah satu tuas utama yang mengendalikan seluruh panel koefisien: $a = k$, $b = 2k$, dan $c = k-1$.
Pertama, amati arah bukaan kurva melalui koefisien $a$. Panel kendali menunjukkan $a = k$. Karena syarat soal mengunci tuas utama pada $k < -1$, maka secara deduktif kita peroleh $a < 0$. Dalam fungsi kuadrat, tanda koefisien kuadrat yang negatif menjamin grafik parabola mutlak terbuka ke bawah. Fakta matematis ini membuktikan bahwa Opsi A benar.
Kedua, tentukan perpotongan grafik terhadap sumbu-x dengan mengevaluasi diskriminan $D = b^2 - 4ac$:
$$\begin{aligned} D &= (2k)^2 - 4(k)(k - 1) \\ &= 4k^2 - 4k^2 + 4k \\ &= 4k \end{aligned}$$
Terapkan syarat tuas utama $k < -1$ ke dalam pertidaksamaan diskriminan:
$$k < -1 \implies 4k < -4 \implies D < -4 < 0$$
Karena nilai $D < 0$, parabola sama sekali tidak memotong sumbu-x (berada di bawah sumbu-x sepenuhnya atau definit negatif). Jadi, Opsi B salah karena mengklaim grafik memotong sumbu-x di dua titik berbeda.
Suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c memiliki koefisien a < 0 dan diskriminan D < 0. Berdasarkan sifat tersebut, di manakah posisi kurva parabola digambarkan pada bidang Kartesius?
- Seluruh bagian kurva berada di bawah sumbu-x.
- Kurva terbuka ke bawah dan memotong sumbu-x di dua titik.
- Kurva berada di atas sumbu-x namun tidak pernah menyentuhnya.
- Posisi kurva tidak bisa dipastikan karena tidak ada nilai numerik.
Jawaban: Seluruh bagian kurva berada di bawah sumbu-x.
Syarat a < 0 membuat parabola terbuka ke bawah, sedangkan D < 0 menandakan parabola tidak memiliki perpotongan real dengan sumbu-x. Akibatnya, seluruh bagian grafik harus berada di bawah sumbu-x (definit negatif). Opsi B keliru karena memotong sumbu-x butuh D > 0. Opsi C keliru karena grafik di atas sumbu-x memerlukan a > 0. Opsi D keliru karena relasi pertidaksamaan aljabar sudah cukup kuat untuk menentukan posisi grafik secara pasti.
Menyimpulkan wujud grafik berdasarkan koefisien a dan diskriminan negatif.
Mengejar Titik Puncak
Meskipun rumus puncak terlihat rumit karena ada parameter, ordinat puncak dapat ditemukan secara presisi lewat substitusi sumbu simetri atau rumus puncak. Banyak siswa ragu saat menghitung puncak fungsi berparameter karena mengira koordinat akhirnya akan tetap tersandera dalam variabel $k$. Kenyataannya, aljabar sering kali saling menghilangkan suku-suku parameter tersebut.
Sumbu simetri parabola dihitung dengan rumus:
$$x_p = -\frac{b}{2a}$$
Dengan memasukkan nilai panel kendali $a = k$ dan $b = 2k$:
$$x_p = -\frac{2k}{2(k)} = -1$$
Karena penyebut dan pembilang memuat faktor $k$ yang sama, nilai absis simetri langsung terkunci di $x = -1$ tanpa peduli berapa nilai $k$. Ini membuktikan bahwa Opsi C benar.
Untuk menemukan ordinat puncak $y_p$, kita memiliki dua jalur aljabar yang setara:
Kedua jalur deduktif ini membuktikan bahwa koordinat titik puncak parabola mutlak berada di $(-1, -1)$ secara permanen. Hal ini membuktikan bahwa Opsi D benar.
Diberikan fungsi kuadrat f(x) = mx² - 4mx + 5m. Jika sumbu simetri fungsi tersebut adalah garis x = 2, berapakah nilai ordinat titik puncak fungsi tersebut?
- m
- 2m
- -m
- 5m
Jawaban: m
Ordinat puncak diperoleh dengan mensubstitusikan absis sumbu simetri x = 2 ke fungsi kuadrat f(x): f(2) = m(2)² - 4m(2) + 5m = 4m - 8m + 5m = m. Opsi B (2m) dan C (-m) keliru akibat kesalahan tanda aritmatika pada suku -4mx. Opsi D (5m) keliru karena sekadar menyalin konstanta c tanpa menghitung kontribusi suku kuadrat dan linear pada puncak.
Menghitung ordinat puncak fungsi berparameter menggunakan teknik substitusi sumbu simetri.
Memastikan Titik Potong Sumbu-y
Posisi titik potong dengan sumbu-y ditentukan dengan menerapkan batasan syarat pertidaksamaan dari parameter pada konstanta fungsi. Ketika kurva memotong sumbu vertikal, nilai absisnya adalah nol ($x = 0$). Dengan mengevaluasi fungsi pada $x = 0$, kita peroleh:
$$f(0) = k(0)^2 + 2k(0) + (k - 1) = k - 1$$
Artinya, ordinat perpotongan sumbu-y ditentukan seutuhnya oleh konstanta $c = k - 1$.
Kita tidak perlu menebak apakah nilai konstanta ini positif atau negatif. Cukup gerakkan tuas utama dengan aturan aljabar pertidaksamaan. Kita tahu syarat awal parameter adalah $k < -1$. Kurangi kedua ruas dengan bilangan $1$:
$$\begin{aligned} k &< -1 \\ k - 1 &< -1 - 1 \\ c &< -2 \end{aligned}$$
Deduksi matematis yang lugas ini membuktikan bahwa Opsi E salah, karena grafik dipastikan memotong sumbu-y pada bagian negatif, bukan positif.
Diberikan sebuah fungsi kuadrat berparameter g(x) = px² + 2x + (3p - 6) dengan syarat p < 1. Tentukan apakah kesimpulan perpotongan fungsi terhadap sumbu-y berikut ini benar atau salah.
- Grafik fungsi g(x) memotong sumbu-y di koordinat yang bernilai negatif. — Benar
- Grafik fungsi g(x) bisa saja memotong sumbu-y di titik pangkal (0,0). — Salah
Titik potong dengan sumbu-y berada pada c = 3p - 6. Dari syarat p < 1, kita kalikan kedua ruas dengan 3 menjadi 3p < 3, lalu kurangi 6 menjadi 3p - 6 < 3 - 6 = -3. Karena c < -3, ordinat perpotongan sumbu-y selalu bernilai negatif di bawah -3, sehingga pernyataan 1 Benar. Pernyataan 2 Salah karena grafik memotong (0,0) jika c = 0, sedangkan nilai c terbukti selalu kurang dari -3 sehingga tidak mungkin bernilai 0.
Menentukan tanda letak potong sumbu-y menggunakan pertidaksamaan pada konstanta fungsi.