Sistem Pertidaksamaan: Dari Tebak-Tebakan ke Langkah Pasti
Kenapa Tebak Acak Itu Melelahkan
Menebak angka satu per satu tanpa panduan akan memakan waktu dan berisiko melanggar syarat yang tersembunyi. Saat berhadapan dengan soal optimasi yang memiliki syarat bilangan bulat positif, nilai variabel $x$ dan $y$ tidak boleh bernilai nol ataupun pecahan. Nilai terkecil yang diizinkan untuk $x$ dan $y$ adalah $1$, yaitu $x \ge 1$ dan $y \ge 1$.
Salah satu jebakan yang sering muncul adalah langsung mengubah pertidaksamaan $x + 2y \le 10$ menjadi persamaan garis $x + 2y = 10$, lalu memasukkan $y = 0$ sehingga didapat $x = 10$. Angka $10$ ini sering langsung dipilih sebagai jawaban seperti pada Opsi B. Pendekatan ini keliru karena dua alasan:
Nilai $y = 0$ melanggar syarat bahwa $y$ harus berupa bilangan bulat positif ($y \ge 1$).
Pertanyaan meminta nilai maksimum dari hasil kali $x \times y$, bukan nilai $x$ sendirian. Jika $y = 0$, hasil kalinya justru bernilai $0$.
Bayangkan kedua pertidaksamaan pada soal sebagai saringan ganda. Pertidaksamaan pertama menyaring pasangan bilangan agar tidak melampaui batas tertentu, pertidaksamaan kedua menyaring dari arah yang berlawanan, dan syarat bilangan bulat positif menentukan bentuk lubang saringannya. Tanpa mencari batas pasti dari saringan tersebut, mencoba-coba angka secara acak hanya akan menghabiskan waktu.
Membuat Pagar Atap untuk y
Mengisolasi variabel $y$ pada kedua pertidaksamaan membantu kita melihat batas maksimal nilai $y$ bergantung pada nilai $x$. Melalui langkah aljabar terstruktur, kita bisa mengubah kedua pertidaksamaan menjadi bentuk batas atas untuk $y$.
Mari kita isolasi $y$ dari pertidaksamaan pertama:
$$x + 2y \le 10$$
$$2y \le 10 - x$$
$$y \le \frac{10 - x}{2}$$
Selanjutnya, isolasi $y$ dari pertidaksamaan kedua:
$$2x - y \ge 10$$
Pindahkan $y$ ke ruas kanan dan $10$ ke ruas kiri agar koefisien $y$ bernilai positif:
$$2x - 10 \ge y \implies y \le 2x - 10$$
Kedua pertidaksamaan ini bertindak sebagai saringan ganda berupa "atap": nilai $y$ yang valid tidak boleh melebihi $\frac{10 - x}{2}$ sekaligus tidak boleh melebihi $2x - 10$ untuk nilai $x$ yang sama. Mengabaikan salah satu batas atap ini akan membuat kita memilih pasangan angka yang salah, seperti pada Opsi D ($16$, misalnya dari pasangan $x = 8, y = 2$ yang melanggar batas pertama) atau Opsi E ($20$, yang jauh melampaui daerah layak kedua pertidaksamaan).
Bentuk mana yang tepat untuk menunjukkan batas nilai $y$ dari pertidaksamaan $3x - y \ge 5$?
- $y \le 3x - 5$
- $y \ge 3x - 5$
- $y \le 3x + 5$
- $y \ge 5 - 3x$
Jawaban: $y \le 3x - 5$
Pindahkan $-y$ ke ruas kanan menjadi $+y$ dan $5$ ke ruas kiri menjadi $-5$, sehingga diperoleh $3x - 5 \ge y$ atau ekuivalen dengan $y \le 3x - 5$ (Opsi A benar). Opsi B keliru membalik arah pertidaksamaan saat memindahkan suku. Opsi C salah tanda pada konstanta 5. Opsi D salah dalam memperlakukan suku variabel dan arah tanda pertidaksamaan.
Mengubah bentuk pertidaksamaan linear untuk mengisolasi variabel y
Menjepit Nilai x
Karena $y$ minimal bernilai $1$, batas atas dari $y$ harus lebih besar atau sama dengan $1$, yang akan membatasi kemungkinan nilai $x$. Syarat $y \ge 1$ ini menjadi kunci utama untuk menjepit rentang nilai $x$ sehingga kita tidak perlu menguji sembarang bilangan.
Pertama, gunakan atap kedua $y \le 2x - 10$. Karena $y \ge 1$, batas atasnya harus minimal bernilai $1$:
$$1 \le 2x - 10$$
$$11 \le 2x \implies x \ge 5{,}5$$
Karena $x$ harus berupa bilangan bulat positif, nilai $x$ terkecil yang memenuhi adalah $6$.
Kedua, gunakan atap pertama $y \le \frac{10 - x}{2}$. Dengan cara yang sama:
$$1 \le \frac{10 - x}{2}$$
$$2 \le 10 - x \implies x \le 8$$
Dengan menggabungkan kedua hasil saringan ini, nilai $x$ terjepit di antara $5{,}5$ dan $8$.
Visual di atas menunjukkan bagaimana kedua pertidaksamaan membentuk irisan daerah penyelesaian. Dari rentang $5{,}5 \le x \le 8$, bilangan bulat yang lolos dari saringan kita ternyata hanya ada tiga kandidat: $x = 6$, $x = 7$, atau $x = 8$.