Membongkar Peluang Tim Bersyarat
Aturan DAN vs ATAU
Kita mengalikan kemungkinan saat dua kejadian harus terjadi bersamaan (DAN), dan menjumlahkannya saat kejadian berupa pilihan yang berbeda (ATAU).
Bayangkan kita sedang menyusun sebuah tim kerja. Memilih anggota tim ibarat mengambil bola dari beberapa keranjang. Satu keranjang berisi kandidat developer Senior, dan satu keranjang lagi berisi kandidat developer Junior. Tiap orang adalah bola di dalam keranjang tersebut. Karena posisi dalam tim setara—memilih Budi lalu Candra sama saja dengan memilih Candra lalu Budi—urutan pengambilan sama sekali tidak berpengaruh. Inilah alasan mendasar mengapa kita menggunakan Kombinasi, bukan Permutasi.
Ketika sebuah tim harus terdiri dari developer Senior DAN developer Junior, setiap kombinasi pilihan dari keranjang Senior bisa dipasangkan dengan setiap kombinasi dari keranjang Junior. Karena keduanya harus terjadi bersamaan membentuk satu tim utuh, jumlah variasinya kita kalikan (aturan perkalian).
Sebagai contoh, jika kita memilih $2$ developer Senior dari $4$ senior yang ada, lalu memilih $2$ developer Junior dari $4$ junior yang ada, perhitungannya adalah:
$$C(4, 2) \times C(4, 2) = 6 \times 6 = 36\text{ cara}$$
Sebuah kafe menawarkan 3 jenis kopi dan 4 jenis roti. Jika seorang pelanggan ingin memesan tepat 1 jenis kopi DAN 1 jenis roti untuk sarapan, operasi apa yang digunakan untuk menentukan total variasi paket yang mungkin?
- Dikalikan: 3 × 4 = 12 variasi paket kopi dan roti
- Ditambahkan: 3 + 4 = 7 variasi paket kopi dan roti
- Kombinasi: C(7, 2) = 21 variasi paket kopi dan roti
- Permutasi: P(7, 2) = 42 variasi paket kopi dan roti
Jawaban: Dikalikan: 3 × 4 = 12 variasi paket kopi dan roti
Pelanggan harus memilih kopi DAN roti secara bersamaan untuk membuat satu paket sarapan. Menurut aturan perkalian (prinsip perkalian), setiap pilihan kopi dapat dipasangkan dengan setiap pilihan roti, sehingga total variasinya adalah 3 × 4 = 12 cara. Opsi penjumlahan (3 + 4) salah karena itu berlaku jika pelanggan hanya memilih 1 menu kopi ATAU roti. Opsi kombinasi C(7,2) maupun permutasi P(7,2) keliru karena mencampuradukkan dua kategori hidangan yang terpisah ke dalam satu wadah.
Aturan perkalian dipakai saat kejadian harus terjadi bersamaan (DAN).
Trik Komplemen
Daripada menjumlahkan banyak kasus rumit, seringkali lebih cepat menghitung total semua kasus lalu menguranginya dengan kasus yang dilarang.
Di soal kita, muncul batasan khusus: Budi dan Candra menolak bekerja dalam satu tim yang sama. Jika dibayangkan dengan analogi keranjang bola kita, Budi dan Candra adalah dua bola merah di keranjang senior yang jika terambil bersamaan, keranjangnya bakal meledak! Tim yang sah tidak boleh memuat kedua bola itu sekaligus.
Untuk menghitung total susunan tim yang diperbolehkan, ada dua rute yang bisa kita tempuh:
Rute Penjumlahan Kasus: Membedah semua skenario yang diperbolehkan satu per satu:
Kasus tanpa Budi maupun Candra: memilih $4$ dari $8$ orang lain = $C(8, 4) = 70$.
Kasus ada Budi (tanpa Candra): Budi masuk, pilih $3$ orang lagi dari $8$ orang lain = $C(8, 3) = 56$.
Kasus ada Candra (tanpa Budi): Candra masuk, pilih $3$ orang lagi dari $8$ orang lain = $C(8, 3) = 56$.
Total tim valid = $70 + 56 + 56 = 182$.
Rute Komplemen (Total $-$ Dilarang):
Semua kemungkinan tanpa syarat: Memilih $4$ orang dari total $10$ kandidat bebas = $C(10, 4) = 210$.
Kasus yang dilarang (Budi & Candra bersama): Pasang Budi dan Candra di dalam tim ($1$ cara), lalu kita cukup memilih sisa $2$ orang lagi dari $8$ kandidat tersisa = $C(8, 2) = 28$.
Total tim valid: $210 - 28 = 182$.
Dalam memilih 3 buku dari 10 buku yang tersedia di perpustakaan, terdapat aturan bahwa buku Fisika dan buku Kimia tidak boleh dipinjam secara bersamaan. Tentukan kebenaran pernyataan berikut:
- Lebih cepat menghitung total cara memilih 3 buku bebas, lalu dikurangi cara memilih 3 buku yang pasti memuat Fisika dan Kimia bersamaan. — Benar
- Syarat pembatasan tersebut berarti kita harus selalu memilih buku Matematika sebagai pengganti agar tim tetap lengkap. — Salah
Pernyataan 1 Benar: Ini adalah inti dari strategi komplemen; menghitung total pilihan bebas (C(10,3)) lalu menguranginya dengan kondisi terlarang (keduanya terpilih bersamaan, C(8,1)) jauh lebih cepat. Pernyataan 2 Salah: Syarat pembatasan hanya melarang kedua buku tersebut diambil bersamaan; kita bebas memilih buku lain apa pun di luar Fisika dan Kimia, tidak ada kewajiban khusus memilih buku Matematika.
Pendekatan komplemen mengurangi total semesta dengan kasus yang dilarang.
Ruang Sampel vs Kejadian Target
Penyebut dalam peluang (ruang sampel) adalah semua kondisi yang memenuhi syarat awal soal, sedangkan pembilang (kejadian target) adalah spesifikasi ekstra yang ditanyakan.
Banyak kekeliruan dalam soal peluang timbul karena tertukar antara batasan semesta dengan target yang dicari. Dalam soal kita:
Ruang Sampel ($n(S)$) adalah semesta acuan yang sah. Soal menyatakan tim dibentuk secara acak dengan mematuhi syarat Budi dan Candra tidak boleh satu tim. Artinya, semua tim yang memuat Budi dan Candra bersamaan langsung didiskualifikasi dari semesta. Ruang sampel kita bukanlah $210$, melainkan $n(S) = 182$.
Kejadian Target ($n(A)$) adalah kondisi khusus yang diminta di dalam semesta yang valid itu: berapakah di antara $182$ tim tersebut yang berisi tepat $2$ developer Senior dan $2$ developer Junior?
Melihat corong penyaringan di atas membantu kita menghindari jebakan umum: