Trik Deret Teleskopik: Jurus Coret Berantai

Bongkar Kunci Polanya

Kunci dari deret panjang adalah memfaktorkan bentuk awalnya agar polanya terlihat. Kalau kamu langsung menghitung kuadrat dan membaginya satu per satu—seperti $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$, lalu $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$—kamu akan terjebak dalam perkalian angka-angka pecahan rumit yang menyita waktu.

Matematika selalu memberi jalan pintas lewat manipulasi bentuk aljabar:

1. Samakan penyebut: Ubah angka $1$ menjadi $\frac{n^2}{n^2}$, sehingga bentuknya menjadi $\frac{n^2 - 1}{n^2}$.

2. Faktorkan pembilang: Ingat sifat Selisih Kuadrat $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Bentuk $n^2 - 1$ dapat dipecah menjadi $(n - 1)(n + 1)$.

3. Pisahkan pecahan: Pecah penyebut $n^2$ menjadi $n \cdot n$, lalu kelompokkan masing-masing faktor menjadi dua pecahan terpisah:

$$\left( \frac{n - 1}{n} \right) \times \left( \frac{n + 1}{n} \right)$$

Sebagai contoh, jika kita masukkan suku pertama pada soal yaitu $n = 2$:

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right) = \left( \frac{2 - 1}{2} \right) \times \left( \frac{2 + 1}{2} \right) = \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{3}{2}\right)$$

Efek Teropong (Teleskopik)

Saat suku-suku deret ini dijajarkan, pecahan di dalam deret akan saling membatalkan satu sama lain secara berantai. Kamu tidak perlu repot-repot mengalikan seluruh pembilang dan penyebut dari suku awal sampai suku akhir.

Mari kita jajarkan tiga suku pertama deret tersebut, yaitu untuk $n = 2$, $n = 3$, dan $n = 4$:

• Suku $n = 2 \rightarrow \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\mathbf{\frac{3}{2}}\right)$

• Suku $n = 3 \rightarrow \left(\mathbf{\frac{2}{3}}\right) \times \left(\frac{4}{3}\right)$

• Suku $n = 4 \rightarrow \left(\frac{3}{4}\right) \times \left(\frac{5}{4}\right)$

Perhatikan pertemuan antar dua suku bersebelahan: faktor kanan dari suku $n = 2$ bernilai $\frac{3}{2}$, sedangkan faktor kiri dari suku $n = 3$ bernilai $\frac{2}{3}$. Saat keduanya dikalikan:

$$\frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1$$

Keduanya saling membalik dan menghasilkan nilai $1$! Hal yang sama langsung terulang pada suku berikutnya: faktor kanan $n = 3$ yaitu $\frac{4}{3}$ langsung dicoret habis oleh faktor kiri $n = 4$ yaitu $\frac{3}{4}$.

Mengeksekusi Jurus Akhir

Untuk menyelesaikan deret teleskopik, cukup kalikan sisa faktor pertama dan sisa faktor terakhir yang tidak tercoret. Seluruh suku di bagian tengah akan saling membatalkan menjadi $1$.

Pada soal, deret berjalan dari $n = 2$ sampai batas akhir $n = 10$. Suku paling akhir ($n = 10$) dijabarkan menjadi $\left(\frac{9}{10}\right) \times \left(\frac{11}{10}\right)$. Faktor $\frac{9}{10}$ ini pasti tercoret oleh faktor kanan suku sebelumnya ($n = 9$).

Dengan demikian, faktor yang tersisa dari ujung ke ujung adalah:

• Sisa ujung kiri: $\frac{1}{2}$ (dari suku $n = 2$)

• Sisa ujung kanan: $\frac{11}{10}$ (dari suku $n = 10$)

Kalikan kedua sisa tersebut untuk mendapatkan hasil akhir:

$$\text{Hasil} = \frac{1}{2} \times \frac{11}{10} = \mathbf{\frac{11}{20}} \quad \text{(Opsi A)}$$